Justifique se
é ou não é um campo vetorial conservativo.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
com
e
. O conteúdo é verificação de conservatividade em
e vamos precisar usar a condição
num domínio simplesmente conexo.
Passo 2
Primeiro a gente verifica o domínio de
. Como
para todo
, o campo está definido em todo
, que é aberto e simplesmente conexo. Numa região assim, basta checar se
.
Passo 3
Agora calculamos
. Como
, temos
Passo 4
Em seguida calculamos
. Como
, pelo produto e derivada de
obtemos
Passo 5
Vendo que
em todo
, concluímos que
é conservativo. Opcionalmente, podemos achar a função potencial. Integrando
em
:
Passo 6
Derivando
em relação a
e igualando a
dá
, logo
e
é constante.
Resposta
O campo
é conservativo, com função potencial
.