Justifique se F é ou não é um campo vetorial conservativo.
F(x, y)=lang<=y^21+x^2, 2 y arctan xrang<=

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial vec F(x,y)=lang<= P(x,y),Q(x,y)rang<= com P(x,y)=y^21+x^2 e Q(x,y)=2yarctan x. O conteúdo é verificação de conservatividade em R^2 e vamos precisar usar a condição partial P/partial y=partial Q/partial x num domínio simplesmente conexo.

Passo 2

Primeiro a gente verifica o domínio de vec F. Como 1+x^2>0 para todo x, o campo está definido em todo R^2, que é aberto e simplesmente conexo. Numa região assim, basta checar se partial P/partial y=partial Q/partial x.

Passo 3

Agora calculamos partial P/partial y. Como P(x,y)=y^21+x^2, temos
partial Ppartial y=2y1+x^2

Passo 4

Em seguida calculamos partial Q/partial x. Como Q(x,y)=2yarctan x, pelo produto e derivada de arctan x obtemos
partial Qpartial x=2ycdot11+x^2=2y1+x^2

Passo 5

Vendo que partial P/partial y=partial Q/partial x em todo R^2, concluímos que vec F é conservativo. Opcionalmente, podemos achar a função potencial. Integrando P em x:
phi(x,y)=integraly^21+x^2,dx=y^2arctan x+H(y)

Passo 6

Derivando phi em relação a y e igualando a Q 2yarctan x+H'(y)=2yarctan x, logo H'(y)=0 e H é constante.

Resposta

O campo vec F é conservativo, com função potencial phi(x,y)=y^2arctan x+C.

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