(a) Determine uma função
tal que
, onde
é parametrizada por
, sen
Passo 1
O exercício pede pra encontrar uma função potencial f tal que ∇f = F, com F(x,y,z) = ⟨y² cos z, 2xy cos z, -x y² sen z⟩. Isso é um campo conservativo, e vamos usar o fato de que as componentes de F são as derivadas parciais de f.
Passo 2
Começamos integrando a componente em x: como ∂f/∂x = y² cos z, fazemos
onde g(y,z) é uma “constante” de integração em relação a x.
Passo 3
Agora usamos a componente em y: sabemos que ∂f/∂y deve ser 2xy cos z. Calculando a partir de f acima:
Como isso tem que dar 2x y cos z, concluímos que ∂g/∂y = 0, logo g(y,z) = h(z).
Passo 4
Por fim, usamos a componente em z: deve valer ∂f/∂z = -x y² sen z. De f(x,y,z)=x y² cos z + h(z) obtemos
Como isso tem que ser -x y² sen z, vem h’(z)=0 e, portanto, h(z)=C, uma constante.
Resposta
f(x,y,z) = x,y²\cos z + C