Calcule o rotacional de cada um dos seguintes campos vetoriais:
\mathbf{C}=r \mathbf{a}_{\mathbf{r}}+r \cos ^{2}(\theta) \mathbf{a}_{\varphi}

Passo 1

O enunciado pede o rotacional do campo vetorial em coordenadas esféricas
\mathbf{C} = r\,\mathbf{a}_r \;+\; r\cos^2(\theta)\,\mathbf{a}_\varphi.
O conteúdo da matéria é cálculo vetorial em coordenadas esféricas e usaremos a fórmula do rotacional em esféricas:
\nabla\times\mathbf{A} =\frac{1}{r\sin\theta}\Bigl[\frac{\partial}{\partial\theta}(A_\varphi\sin\theta) -\frac{\partial A_\theta}{\partial\varphi}\Bigr]\mathbf{a}_r +\frac{1}{r}\Bigl[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial\varphi} -\frac{\partial}{\partial r}(rA_\varphi)\Bigr]\mathbf{a}_\theta +\frac{1}{r}\Bigl[\frac{\partial}{\partial r}(rA_\theta) -\frac{\partial A_r}{\partial\theta}\Bigr]\mathbf{a}_\varphi.

Passo 2

Identificamos as componentes radiais, polares e azimutais de \mathbf{C}:
A_r = r,\quad A_\theta = 0,\quad A_\varphi = r\cos^2\!(\theta).

Passo 3

Cálculo da componente em \mathbf{a}_r:
(\nabla\times\mathbf{C})_r =\frac{1}{r\sin\theta}\,\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(A_\varphi\sin\theta\bigr) =\frac{1}{r\sin\theta}\,\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(r\cos^2\theta\sin\theta\bigr).
Derivando r\cos^2\theta\sin\theta em \theta:
\frac{\partial}{\partial\theta}(r\cos^2\theta\sin\theta) =r\bigl(-2\cos\theta\sin^2\theta+\cos^3\theta\bigr) =r\cos\theta\bigl(\cos^2\theta-2\sin^2\theta\bigr).
Portanto
(\nabla\times\mathbf{C})_r =\frac{r\cos\theta(\cos^2\theta-2\sin^2\theta)}{r\sin\theta} =\frac{\cos\theta\,(1-3\sin^2\theta)}{\sin\theta}.

Passo 4

Cálculo da componente em \mathbf{a}_\theta:
(\nabla\times\mathbf{C})_\theta =\frac{1}{r}\Bigl[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial\varphi} -\frac{\partial}{\partial r}(rA_\varphi)\Bigr].
Como A_r=r não depende de \varphi, a primeira parcela é zero. Já
rA_\varphi = r\cdot(r\cos^2\theta)=r^2\cos^2\theta \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial}{\partial r}(rA_\varphi)=2r\cos^2\theta.
Logo
(\nabla\times\mathbf{C})_\theta =\frac{1}{r}\bigl[0-2r\cos^2\theta\bigr] =-2\cos^2\theta.

Passo 5

Cálculo da componente em \mathbf{a}_\varphi:
(\nabla\times\mathbf{C})_\varphi =\frac{1}{r}\Bigl[\frac{\partial}{\partial r}(rA_\theta) -\frac{\partial A_r}{\partial\theta}\Bigr].
Como A_\theta=0 e A_r=r não depende de \theta, ambas as derivadas são zero. Então
(\nabla\times\mathbf{C})_\varphi = 0.

Resposta

\nabla\times\mathbf{C} =\frac{\cos\theta\,(1-3\sin^2\theta)}{\sin\theta}\,\mathbf{a}_r \;-\;2\cos^2\theta\,\mathbf{a}_\theta.

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