Duas espiras de corrente idênticas têm seus centros em (0,0,0) e (0,0,4) e seus eixos ao longo do eixo z (de modo a formar uma “bobina de Helmholtz”). Se cada espira tem um raio de 2 m e é percorrida por uma corrente de 5 A em \mathbf{a}_{\varphi}, calcule \mathbf{H} em:
(0,0,2 m)

Passo 1

O enunciado dá duas espiras circulares idênticas de raio a=2,m, centradas em (0,0,0) e (0,0,4) com eixos ao longo de z. Cada espira carrega corrente I=5,A no sentido \mathbf{a}_\varphi. Queremos encontrar o vetor \mathbf{H} no ponto (0,0,2).
Conteúdo: magnetostática em vácuo, campo axial de uma espira circular e relação \mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu_0.

Passo 2

Em magnetostática, o campo magnético axial de uma única espira de raio a e corrente I, num ponto a uma distância z do seu centro, vale
B_z(z) = \frac{\mu_0\,I\,a^2}{2\,\bigl(a^2+z^2\bigr)^{3/2}}.
O vetor \mathbf{B} está ao longo de \mathbf{a}_z.

Passo 3

O ponto (0,0,2) está a z_1=2,m da espira em z=0 e a z_2=2,m (em módulo) da espira em z=4. Cada espira gera em (0,0,2) um B_z na mesma direção. Portanto
B_{z,\text{total}} = B_z(z_1) + B_z(z_2) =2\,\frac{\mu_0\,I\,a^2}{2\,(a^2+z_1^2)^{3/2}} =\frac{\mu_0\,I\,a^2}{(a^2+z_1^2)^{3/2}}.
Então
H_z =\frac{B_{z,\text{total}}}{\mu_0} =\frac{I\,a^2}{(a^2+z_1^2)^{3/2}}.

Passo 4

Substituindo I=5,A, a=2,m e z_1=2,m:
(a^2+z_1^2)^{3/2} = (4+4)^{3/2} = 8^{3/2} = 16\sqrt2,
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H_z =\frac{5\cdot 2^2}{16\sqrt2} =\frac{20}{16\sqrt2} =\frac{5}{4\sqrt2} =\frac{5\sqrt2}{8}\quad\bigl[\text{A/m}\bigr].

Resposta

\mathbf{H}(0,0,2) =\frac{5\sqrt2}{8}\,\mathbf{a}_z\\ \text{A/m}\approx0{,}884\,\mathbf{a}_z\\ \text{A/m}.

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