Duas espiras de corrente idênticas têm seus centros em (0,0,0) e (0,0,4) e seus eixos ao longo do eixo z (de modo a formar uma “bobina de Helmholtz”). Se cada espira tem um raio de 2 m e é percorrida por uma corrente de 5 A em \mathbf{a}_{\varphi}, calcule \mathbf{H} em:
(0,0,0).

Passo 1

O enunciado dá duas espiras idênticas de raio R=2 m e corrente I=5 A, com centros em z=0 e z=d=4 m ao longo do eixo z. Queremos calcular \mathbf{H} no ponto (0,0,0). Vamos usar a fórmula do campo magnético no eixo de uma espira e a relação \mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu_0, depois somar as contribuições por superposição.

Passo 2

Para a espira cujo centro está em (0,0,0), o campo magnético no próprio centro (eixo) é
B_{\rm auto}=\frac{\mu_0\,I}{2R}\,\mathbf{a}_z.
Assim,
H_{\rm auto}=\frac{B_{\rm auto}}{\mu_0} =\frac{I}{2R}\,\mathbf{a}_z =\frac{5}{2\cdot2}\,\mathbf{a}_z =\frac{5}{4}\,\mathbf{a}_z\quad(\text{A/m}).

Passo 3

Para a espira superior (centro em z=d), a distância axial até (0,0,0) é z=d. A fórmula no eixo é
B(d)=\frac{\mu_0\,I\,R^2}{2\,(R^2+d^2)^{3/2}}\,\mathbf{a}_z \quad\Longrightarrow\quad H(d)=\frac{B(d)}{\mu_0} =\frac{I\,R^2}{2\,(R^2+d^2)^{3/2}}\,\mathbf{a}_z.

Passo 4

Somando as duas contribuições e substituindo I=5, R=2, d=4:
H_z =\frac{5}{2\cdot2} +\frac{5\cdot2^2}{2\,(2^2+4^2)^{3/2}} =\frac{5}{4}+\frac{20}{2\,(20)^{3/2}} =\frac{5}{4}+\frac{1}{4\sqrt5} \approx1{,}362\quad(\text{A/m}).

Resposta

\mathbf{H}(0,0,0)\approx1{,}362\,\mathbf{a}_z\quad\text{A/m}.

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