Calcule o rotacional de cada um dos seguintes campos vetoriais:
\mathbf{A}=x y \mathbf{a}_{\mathbf{x}}+y^{2} \mathbf{a}_{\mathbf{y}}-x z \mathbf{a}_{\mathbf{z}}

Passo 1

O enunciado pede o rotacional do campo vetorial
\mathbf{A} = x\,y\,\mathbf{a}_{x} \;+\; y^{2}\,\mathbf{a}_{y} \;-\; x\,z\,\mathbf{a}_{z}.
O conteúdo envolvido é o operador rotacional em coordenadas cartesianas. Vamos usar a definição
\nabla \times \mathbf{A} = \begin{vmatrix} \mathbf{a}_{x} & \mathbf{a}_{y} & \mathbf{a}_{z} \\[6pt] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[6pt] A_{x} & A_{y} & A_{z} \end{vmatrix},
onde A_{x}=x\,y, A_{y}=y^{2} e A_{z}=-x\,z.]

Passo 2

Calculamos a componente x do rotacional por
(\nabla \times \mathbf{A})_{x} = \frac{\partial A_{z}}{\partial y} \;-\; \frac{\partial A_{y}}{\partial z}.
Como A_{z}=-x\,z não depende de y e A_{y}=y^{2} não depende de z, temos
\frac{\partial A_{z}}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial A_{y}}{\partial z} = 0,
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(\nabla \times \mathbf{A})_{x} = 0.

Passo 3

Calculamos a componente y por
(\nabla \times \mathbf{A})_{y} = \frac{\partial A_{x}}{\partial z} \;-\; \frac{\partial A_{z}}{\partial x}.
Aqui A_{x}=x\,y não depende de z e
\frac{\partial A_{z}}{\partial x} = \frac{\partial (-x\,z)}{\partial x} = -\,z.
Portanto
(\nabla \times \mathbf{A})_{y} = 0 \;-\; (-\,z) = z.

Passo 4

Calculamos a componente z por
(\nabla \times \mathbf{A})_{z} = \frac{\partial A_{y}}{\partial x} \;-\; \frac{\partial A_{x}}{\partial y}.
Temos
\frac{\partial A_{y}}{\partial x} = \frac{\partial (y^{2})}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial A_{x}}{\partial y} = \frac{\partial (x\,y)}{\partial y} = x.
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(\nabla \times \mathbf{A})_{z} = 0 \;-\; x = -\,x.

Resposta

\nabla \times \mathbf{A} = 0\,\mathbf{a}_{x} \;+\; z\,\mathbf{a}_{y} \;-\; x\,\mathbf{a}_{z} \quad\text{ou simplesmente}\quad \nabla \times \mathbf{A} = z\,\mathbf{a}_{y} - x\,\mathbf{a}_{z}.

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