Calcule o rotacional de cada um dos seguintes campos vetoriais: \mathbf{A}=x y \mathbf{a}_{\mathbf{x}}+y^{2} \mathbf{a}_{\mathbf{y}}-x z \mathbf{a}_{\mathbf{z}} Passo 1O enunciado pede o rotacional do campo vetorial \mathbf{A} = x\,y\,\mathbf{a}_{x} \;+\; y^{2}\,\mathbf{a}_{y} \;-\; x\,z\,\mathbf{a}_{z}. O conteúdo envolvido é o operador rotacional em coordenadas cartesianas. Vamos usar a definição \nabla \times \mathbf{A} = \begin{vmatrix} \mathbf{a}_{x} & \mathbf{a}_{y} & \mathbf{a}_{z} \\[6pt] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[6pt] A_{x} & A_{y} & A_{z} \end{vmatrix}, onde A_{x}=x\,y, A_{y}=y^{2} e A_{z}=-x\,z.] Passo 2Calculamos a componente x do rotacional por (\nabla \times \mathbf{A})_{x} = \frac{\partial A_{z}}{\partial y} \;-\; \frac{\partial A_{y}}{\partial z}. Como A_{z}=-x\,z não depende de y e A_{y}=y^{2} não depende de z, temos \frac{\partial A_{z}}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial A_{y}}{\partial z} = 0, logo (\nabla \times \mathbf{A})_{x} = 0. Passo 3Calculamos a componente y por (\nabla \times \mathbf{A})_{y} = \frac{\partial A_{x}}{\partial z} \;-\; \frac{\partial A_{z}}{\partial x}. Aqui A_{x}=x\,y não depende de z e \frac{\partial A_{z}}{\partial x} = \frac{\partial (-x\,z)}{\partial x} = -\,z. Portanto (\nabla \times \mathbf{A})_{y} = 0 \;-\; (-\,z) = z. Passo 4Calculamos a componente z por (\nabla \times \mathbf{A})_{z} = \frac{\partial A_{y}}{\partial x} \;-\; \frac{\partial A_{x}}{\partial y}. Temos \frac{\partial A_{y}}{\partial x} = \frac{\partial (y^{2})}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial A_{x}}{\partial y} = \frac{\partial (x\,y)}{\partial y} = x. Logo (\nabla \times \mathbf{A})_{z} = 0 \;-\; x = -\,x. Resposta \nabla \times \mathbf{A} = 0\,\mathbf{a}_{x} \;+\; z\,\mathbf{a}_{y} \;-\; x\,\mathbf{a}_{z} \quad\text{ou simplesmente}\quad \nabla \times \mathbf{A} = z\,\mathbf{a}_{y} - x\,\mathbf{a}_{z}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEncontre o divergente dos seguintes vetores: \mathbf{C}=r \cdot \cos (\theta) \mathbf{a}_{\mathbf{r}}-\frac{1}{r} \operatorname{sen}(\theta) \mathbf{a}_{\theta}+2 r^{2} \cdot \operatorname{sen}(\theta) \mathbf{a}_{\varphi} Encontre o divergente dos seguintes vetores: \mathbf{B}=\rho \cdot z^{2} \cdot \cos (\varphi) \mathbf{a}_{\rho}+z \cdot \operatorname{sen}^{2}(\varphi) \mathbf{a}_{\mathbf{z}} Calcule o rotacional de cada um dos seguintes campos vetoriais: \mathbf{A}=x y \mathbf{a}_{\mathbf{x}}+y^{2} \mathbf{a}_{\mathbf{y}}-x z \mathbf{a}_{\mathbf{z}} Calcule o rotacional de cada um dos seguintes campos vetoriais: \mathbf{B}=\rho z^{2} \mathbf{a}_{\rho}+\rho \operatorname{sen}^{2}(\varphi) \mathbf{a}_{\varphi}+2 \rho z \operatorname{sen}^{2}(\varphi) \mathbf{a}_{\mathbf{z}}