Encontre o divergente dos seguintes vetores:
\mathbf{C}=r \cdot \cos (\theta) \mathbf{a}_{\mathbf{r}}-\frac{1}{r} \operatorname{sen}(\theta) \mathbf{a}_{\theta}+2 r^{2} \cdot \operatorname{sen}(\theta) \mathbf{a}_{\varphi}

Passo 1

O enunciado dá o campo em coordenadas esféricas
\mathbf{C}(r,\theta,\varphi) = r\cos(\theta)\,\mathbf{a}_r -\frac{1}{r}\sin(\theta)\,\mathbf{a}_\theta +2\,r^2\sin(\theta)\,\mathbf{a}_\varphi
e pede \nabla\cdot\mathbf{C}. Para isso, vamos usar a fórmula do divergente em coordenadas esféricas:
\nabla\cdot\mathbf{C} =\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^2\,C_r\bigr) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(\sin\theta\,C_\theta\bigr) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial C_\varphi}{\partial\varphi}.

Passo 2

Identificamos as componentes:
C_r = r\cos(\theta),\quad C_\theta = -\frac{1}{r}\sin(\theta),\quad C_\varphi = 2\,r^2\sin(\theta).
Repare que não há dependência em \varphi, então o último termo da fórmula será zero.

Passo 3

Calculamos o termo radial:
r^2\,C_r = r^2\cdot\bigl(r\cos\theta\bigr) = r^3\cos\theta,
\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^3\cos\theta\bigr) =3r^2\cos\theta,
\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^2\,C_r\bigr) =\frac{1}{r^2}\cdot3r^2\cos\theta = 3\cos\theta.

Passo 4

Calculamos o termo polar \theta:
\sin\theta\,C_\theta = \sin\theta\cdot\Bigl(-\frac{1}{r}\sin\theta\Bigr) =-\frac{1}{r}\sin^2\theta,
\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(-\tfrac{1}{r}\sin^2\theta\bigr) =-\frac{1}{r}\cdot 2\sin\theta\cos\theta =-\frac{2}{r}\sin\theta\cos\theta,
\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(\sin\theta\,C_\theta\bigr) =\frac{1}{r\sin\theta}\Bigl(-\frac{2}{r}\sin\theta\cos\theta\Bigr) =-\frac{2\cos\theta}{r^2}.

Passo 5

Como C_\varphi não depende de \varphi, temos
\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial C_\varphi}{\partial\varphi}=0.

Passo 6

Somando todos os termos:
\nabla\cdot\mathbf{C} =3\cos\theta - \frac{2\cos\theta}{r^2} + 0 =3\cos\theta - \frac{2\cos\theta}{r^2}.

Resposta

\nabla\cdot\mathbf{C} =3\cos\theta - \frac{2\cos\theta}{r^2}.

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