Encontre o divergente dos seguintes vetores:
\mathbf{B}=\rho \cdot z^{2} \cdot \cos (\varphi) \mathbf{a}_{\rho}+z \cdot \operatorname{sen}^{2}(\varphi) \mathbf{a}_{\mathbf{z}}

Passo 1

Temos o campo vetorial em coordenadas cilíndricas
\mathbf{B} = \rho\,z^{2}\cos(\varphi)\,\mathbf{a}_{\rho} \;+\; z\,\sin^{2}(\varphi)\,\mathbf{a}_{z}
e queremos calcular o divergente \nabla\cdot\mathbf{B}. O conteúdo usado será a fórmula da divergência em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

A fórmula da divergência em coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z) é
\nabla\cdot\mathbf{B} =\frac{1}{\rho}\frac{\partial\bigl(\rho\,B_{\rho}\bigr)}{\partial \rho} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial B_{\varphi}}{\partial \varphi} +\frac{\partial B_{z}}{\partial z}.

Passo 3

Identificamos as componentes de \mathbf{B}:
B_{\rho} = \rho\,z^{2}\cos(\varphi), \quad B_{\varphi} = 0, \quad B_{z} = z\,\sin^{2}(\varphi).

Passo 4

Calculamos o primeiro termo:
\rho\,B_{\rho} = \rho\bigl(\rho\,z^{2}\cos(\varphi)\bigr) = \rho^{2}z^{2}\cos(\varphi),
\frac{\partial(\rho^{2}z^{2}\cos(\varphi))}{\partial \rho} =2\rho\,z^{2}\cos(\varphi),
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho\,B_{\rho})}{\partial \rho} = \frac{1}{\rho}\bigl(2\rho\,z^{2}\cos(\varphi)\bigr) =2\,z^{2}\cos(\varphi).

Passo 5

O segundo termo é nulo porque B_{\varphi}=0.
O terceiro termo é
\frac{\partial B_{z}}{\partial z} =\frac{\partial\bigl(z\,\sin^{2}(\varphi)\bigr)}{\partial z} =\sin^{2}(\varphi).

Passo 6

Somando os termos que não são nulos:
\nabla\cdot\mathbf{B} =2\,z^{2}\cos(\varphi) + \sin^{2}(\varphi).

Resposta

\nabla\cdot\mathbf{B} = 2\,z^{2}\cos(\varphi) + \sin^{2}(\varphi).

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