Encontre as soluções gerais das seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
y^{\prime \prime}+y\left(y^{\prime}\right)^{3}=0.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as soluções gerais da equação diferencial de segunda ordem
y'' + y\,(y')^{3} = 0.
Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A equação envolve até a segunda derivada y'' e depende de y e de y', mas não aparece x explicitamente.
  • Como é uma equação de segunda ordem, a solução geral deve conter duas constantes arbitrárias.
  • Devemos fornecer todas as soluções (casos gerais e casos particulares).

Passo 2

Estratégia (explicação didática do que faremos agora): como a equação não envolve x explicitamente, é conveniente reduzir a ordem usando a substituição
p = y',
ou seja, p é a derivada de y em relação a x. Vou explicar como transformar y'' em derivada de p em relação a y: pela regra da cadeia,
y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}.
Aqui \frac{dp}{dy} significa derivar p visto como função de y (isso é permitido quando se trata de equações sem dependência explícita em x).

Passo 3

Substituindo y''=p\frac{dp}{dy} e y' = p na equação original obtemos uma equação de ordem reduzida:
p\frac{dp}{dy} + y\,p^{3} = 0.

Passo 4

Antes de manipular algebricamente, consideramos o caso particular p\equiv 0. Se p=0 então y'=0 e, integrando, obtemos as soluções constantes
y(x) = C_1,
onde C_1 é constante arbitrária. Essas são soluções válidas da equação original, pois y''=0 e y(y')^3=0. Agora tratamos o caso não trivial p\neq 0.

Passo 5

Assumindo p\neq 0, dividimos a equação por p (isto é válido ponto a ponto enquanto p\neq0):
\frac{dp}{dy} + y\,p^{2} = 0.
Esta é uma equação de primeira ordem para p em função de y. Observamos que é separável: podemos escrever
\frac{dp}{p^{2}} = -y\,dy.

Passo 6

Integramos ambos os lados. Lembrete rápido de integração: \int p^{-2}\,dp = -p^{-1} + \text{const} e \int -y\,dy = -\tfrac{1}{2}y^{2} + \text{const}. Assim,
\int \frac{dp}{p^{2}} = \int -y\,dy
leva a
-\,\frac{1}{p} = -\frac{y^{2}}{2} + C,
onde C é uma constante de integração.

Passo 7

Multiplicando por -1 e reescrevendo a constante, obtemos
\frac{1}{p} = \frac{y^{2}}{2} + C_{1},
ou seja
p = \frac{1}{C_{1} + \tfrac{1}{2}y^{2}}.
Aqui C_{1} é uma constante arbitrária (proveniente da integração). Lembrando que p=y', temos
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{C_{1} + \tfrac{1}{2}y^{2}}.

Passo 8

Invertendo a relação para separar as variáveis convenientemente, escrevemos
\frac{dx}{dy} = C_{1} + \tfrac{1}{2}y^{2}.
Integramos em y: usando \int C_{1}\,dy = C_{1}y e \int \tfrac{1}{2}y^{2}\,dy = \tfrac{1}{6}y^{3}, obtemos
x + C_{2} = C_{1}y + \frac{1}{6}y^{3},
onde C_{2} é a segunda constante de integração.

Passo 9

Reorganizando, a solução geral (implícita) para o caso não constante fica
x = C_{1}y + \frac{1}{6}y^{3} + C_{2}.
Essa equação relaciona x e y e contém as duas constantes arbitrárias C_{1} e C_{2}. Em princípio dá para tentar isolar y como função explícita de x resolvendo a cúbica, mas isso não é necessário: a forma implícita acima é a forma mais simples e perfeitamente válida como solução geral. Lembre-se também do caso particular de passo 4, y\equiv C_1, que corresponde a y'\equiv0 e não foi alcançado pela divisão por p.

Passo 10

Verificação rápida (como checar na prova): derivando implicitamente x = C_{1}y + \tfrac{1}{6}y^{3} + C_{2} em relação a x temos 1 = (C_{1} + \tfrac{1}{2}y^{2})y', portanto y' = 1/(C_{1} + \tfrac{1}{2}y^{2}), que é exatamente o p encontrado. Diferenciando novamente e substituindo volta-se à equação original — isso confirma consistência. Não esqueça de mencionar o caso y= constante como solução separada.

Resposta

x = C_{1}y + \dfrac{1}{6}y^{3} + C_{2}
y(x)=\text{constante}

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