Encontre as soluções gerais das seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as soluções gerais da equação diferencial de segunda ordem
Informações relevantes que temos:
- A incógnita é a função
. - A equação envolve até a segunda derivada
e depende de e de , mas não aparece explicitamente. - Como é uma equação de segunda ordem, a solução geral deve conter duas constantes arbitrárias.
- Devemos fornecer todas as soluções (casos gerais e casos particulares).
Passo 2
Estratégia (explicação didática do que faremos agora): como a equação não envolve
explicitamente, é conveniente reduzir a ordem usando a substituição
ou seja,
é a derivada de
em relação a
. Vou explicar como transformar
em derivada de
em relação a
: pela regra da cadeia,
Aqui
significa derivar
visto como função de
(isso é permitido quando se trata de equações sem dependência explícita em
).
Passo 3
Substituindo
e
na equação original obtemos uma equação de ordem reduzida:
Passo 4
Antes de manipular algebricamente, consideramos o caso particular
. Se
então
e, integrando, obtemos as soluções constantes
onde
é constante arbitrária. Essas são soluções válidas da equação original, pois
e
. Agora tratamos o caso não trivial
.
Passo 5
Assumindo
, dividimos a equação por
(isto é válido ponto a ponto enquanto
):
Esta é uma equação de primeira ordem para
em função de
. Observamos que é separável: podemos escrever
Passo 6
Integramos ambos os lados. Lembrete rápido de integração:
e
. Assim,
leva a
onde
é uma constante de integração.
Passo 7
Multiplicando por
e reescrevendo a constante, obtemos
ou seja
Aqui
é uma constante arbitrária (proveniente da integração). Lembrando que
, temos
Passo 8
Invertendo a relação para separar as variáveis convenientemente, escrevemos
Integramos em
: usando
e
, obtemos
onde
é a segunda constante de integração.
Passo 9
Reorganizando, a solução geral (implícita) para o caso não constante fica
Essa equação relaciona
e
e contém as duas constantes arbitrárias
e
. Em princípio dá para tentar isolar
como função explícita de
resolvendo a cúbica, mas isso não é necessário: a forma implícita acima é a forma mais simples e perfeitamente válida como solução geral. Lembre-se também do caso particular de passo 4,
, que corresponde a
e não foi alcançado pela divisão por
.
Passo 10
Verificação rápida (como checar na prova): derivando implicitamente
em relação a
temos
, portanto
, que é exatamente o
encontrado. Diferenciando novamente e substituindo volta-se à equação original — isso confirma consistência. Não esqueça de mencionar o caso
constante como solução separada.