Calcule o rotacional do campo vetorial F(x, y, z)=x y^2 z^4 i+(2 x^2 y+z) j+(y^3 z^2) k e assinale a alternativa correta.
Dados: Rotacional através do determinante: rot F=|ccci & j & k partial & partialpartial x & partialpartial y M & N z & P|
ou por rot F=partial Ppartial y i+partial Mpartial z j+partial Npartial x k-partial Npartial z i-partial Ppartial x j-partial Mpartial y k.

Passo 1

A gente tem o campo vetorial F(x,y,z)=x y^2 z^4,i + (2x^2y+z),j + (y^3z^2),k. O conteúdo é rotacional de campo vetorial e vamos precisar usar derivadas parciais e a definição nablatimes F.

Passo 2

Para ficar claro, chamamos as componentes de F de
M(x,y,z)=x y^2 z^4,
N(x,y,z)=2x^2y+z,
P(x,y,z)=y^3z^2

Passo 3

A definição do rotacional em componentes é
nablatimes F = l(partial Ppartial y - partial Npartial zr),i + l(partial Mpartial z - partial Ppartial xr),j + l(partial Npartial x - partial Mpartial yr),k

Passo 4

Calculamos o componente i:
partial Ppartial y = 3y^2z^2,
partial Npartial z = 1,
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(nablatimes F)i = 3y^2z^2 - 1

Passo 5

Calculamos o componente j:
partial Mpartial z = 4x y^2z^3,
partial Ppartial x = 0,
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(nablatimes F)j = 4x y^2z^3

Passo 6

Calculamos o componente k:
partial Npartial x = 4x y,
partial Mpartial y = 2x y z^4,
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(nablatimes F)k = 4x y - 2x y z^4

Passo 7

Juntando tudo, obtemos o rotacional completo do campo.

Resposta

nablatimes F = (3y^2z^2 - 1),i + 4x y^2z^3,j + (4x y - 2x y z^4),k.

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