Calcule o rotacional do campo vetorial assinale a alternativa correta.
Dados: Rotacional através do determinante: rot
ou por rot F=partial Ppartial y i+partial Mpartial z j+partial Npartial x k-partial Npartial z i-partial Ppartial x j-partial Mpartial y k.
Passo 1
A gente tem o campo vetorial F(x,y,z)=x y^2 z^4,i + (2x^2y+z),j + (y^3z^2),k. O conteúdo é rotacional de campo vetorial e vamos precisar usar derivadas parciais e a definição nablatimes F.
Passo 2
Para ficar claro, chamamos as componentes de F de
M(x,y,z)=x y^2 z^4,
N(x,y,z)=2x^2y+z,
P(x,y,z)=y^3z^2
Passo 3
A definição do rotacional em componentes é
nablatimes F = l(partial Ppartial y - partial Npartial zr),i + l(partial Mpartial z - partial Ppartial xr),j + l(partial Npartial x - partial Mpartial yr),k
Passo 4
Calculamos o componente i:
partial Ppartial y = 3y^2z^2,
partial Npartial z = 1,
logo
(nablatimes F)i = 3y^2z^2 - 1
Passo 5
Calculamos o componente j:
partial Mpartial z = 4x y^2z^3,
partial Ppartial x = 0,
logo
(nablatimes F)j = 4x y^2z^3
Passo 6
Calculamos o componente k:
partial Npartial x = 4x y,
partial Mpartial y = 2x y z^4,
logo
(nablatimes F)k = 4x y - 2x y z^4
Passo 7
Juntando tudo, obtemos o rotacional completo do campo.
Resposta
nablatimes F = (3y^2z^2 - 1),i + 4x y^2z^3,j + (4x y - 2x y z^4),k.