Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral.
integral e^raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral e^raizx , dx. Aqui estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com técnicas de substituição e integração por partes. Para resolver essa integral, vamos precisar entender como fazer uma substituição para simplificar a expressão e, em seguida, aplicar a integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar $ t = \sqrt{x} $. Isso significa que $ x = t^2 $. Agora, precisamos achar $ dx $ em termos de $ t $. Derivando ambos os lados em relação a $ t $, temos:
t = raizx
Agora, substituímos $ \sqrt{x} $ por $ t $ e $ dx $ por $ 2t , dt $ na integral original:
x = t^2

Passo 3

Agora, precisamos resolver a integral $ 2 \int t e^{t} , dt $. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes. A integração por partes é uma ferramenta que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula é:
2 integral t e^t , dt
Vamos identificar quais são $ u $ e $ dv $ na nossa integral.

Passo 4

Vamos deixar:
u = t Rightarrow du = dt
dv = e^t , dt Rightarrow v = e^t
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral t e^t , dt = t e^t - integral e^t , dt
= t e^t - e^t + C
Multiplicando por 2:
2 integral t e^t , dt = 2t e^t - 2 e^t + C

Passo 5

Por fim, vamos voltar à variável original $ x $. Lembramos que fizemos a substituição $ t = \sqrt{x} $. Substituindo de volta:
x
Podemos fatorar $ 2 e^{\sqrt{x}} $:
t = raizx

Resposta

A integral integral e^raizx , dx é igual a:
2 e^raizx (raizx - 1) + C
onde $ C $ é a constante de integração.

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