Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com técnicas de substituição e integração por partes. Para resolver essa integral, vamos precisar entender como fazer uma substituição para simplificar a expressão e, em seguida, aplicar a integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar $ t = \sqrt{x} $. Isso significa que $ x = t^2 $. Agora, precisamos achar $ dx $ em termos de $ t $. Derivando ambos os lados em relação a $ t $, temos:
Agora, substituímos $ \sqrt{x} $ por $ t $ e $ dx $ por $ 2t , dt $ na integral original:
Passo 3
Agora, precisamos resolver a integral $ 2 \int t e^{t} , dt $. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes. A integração por partes é uma ferramenta que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula é:
Vamos identificar quais são $ u $ e $ dv $ na nossa integral.
Passo 4
Vamos deixar:
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Multiplicando por 2:
Passo 5
Por fim, vamos voltar à variável original $ x $. Lembramos que fizemos a substituição $ t = \sqrt{x} $. Substituindo de volta:
Podemos fatorar $ 2 e^{\sqrt{x}} $:
Resposta
A integral
é igual a:
onde $ C $ é a constante de integração.