Determine os intervalos de convergência das séries abaixo:
sum(-1)^n x^2 n(2 n)!

Passo 1

O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)!. O conteúdo principal é teste da razão aplicado a séries de potências, e vamos precisar usar que a série converge se o quociente entre termos sucessivos tende a um valor menor que 1.

Passo 2

Identificamos o termo geral da série como an = (-1)^ndfracx^2n(2n)!. Pelo teste da razão, definimos
L = limntoinfty|an+1an|

Passo 3

Vamos calcular o quociente:
|an+1an| = |(-1)^n+1x^2(n+1)/(2n+2)!(-1)^n x^2n/(2n)!| = |x|^2(2n+2)(2n+1)

Passo 4

Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
L = limntoinfty|x|^2(2n+2)(2n+1) = 0

Passo 5

Como L=0<1 para qualquer xinR, a série converge para todos os valores reais de x.

Resposta

(-\infty,;\infty)

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