Calcule as derivadas parciais utilizando as regras ordinárias de derivação
u=f(x, y, z)=(x^2+y^2+z^2)^12

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de uma função de três variáveis usando regra da cadeia. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e vamos precisar aplicar a regra da cadeia para funções compostas, tratando cada variável em separado enquanto as demais ficam constantes.

Passo 2

Para calcular dfracpartial upartial x, consideramos y e z constantes e aplicamos a regra da cadeia e a regra do poder. Primeiro escrevemos:
partial upartial x = partialpartial x(x^2+y^2+z^2)^1/2 = 12(x^2+y^2+z^2)^-1/2cdot 2x = xraizx^2+y^2+z^2

Passo 3

Para calcular dfracpartial upartial y, fazemos de modo análogo, tratando x e z como constantes. Aplicando a regra da cadeia:
$$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{2}(x2+y2+z2){-1/2}\cdot 2y
= \frac{y}{\sqrt{x2+y2+z^2}}.$$

Passo 4

Para calcular dfracpartial upartial z, repetimos o mesmo raciocínio, com x e y constantes:
$$\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{1}{2}(x2+y2+z2){-1/2}\cdot 2z
= \frac{z}{\sqrt{x2+y2+z^2}}.$$

Resposta

dfracpartial upartial x=dfracxraizx^2+y^2+z^2, dfracpartial upartial y=dfracyraizx^2+y^2+z^2, dfracpartial upartial z=dfraczraizx^2+y^2+z^2

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