Calcule as derivadas parciais utilizando as regras ordinárias de derivação
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de uma função de três variáveis usando regra da cadeia. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e vamos precisar aplicar a regra da cadeia para funções compostas, tratando cada variável em separado enquanto as demais ficam constantes.
Passo 2
Para calcular
, consideramos
e
constantes e aplicamos a regra da cadeia e a regra do poder. Primeiro escrevemos:
Passo 3
Para calcular
, fazemos de modo análogo, tratando
e
como constantes. Aplicando a regra da cadeia:
$$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{2}(x2+y2+z2){-1/2}\cdot 2y
= \frac{y}{\sqrt{x2+y2+z^2}}.$$
Passo 4
Para calcular
, repetimos o mesmo raciocínio, com
e
constantes:
$$\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{1}{2}(x2+y2+z2){-1/2}\cdot 2z
= \frac{z}{\sqrt{x2+y2+z^2}}.$$