Calcule o rotacional do campo vetorial \vec{F}: U \subset \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}
\vec{F}(x, y, z)=\left(y+x^{2}+6 z^{2}, e^{x+y}, z+x+y\right)
Resposta:
\nabla \times \vec{F}=\left(1,12 z-1, e^{x+y}-1\right)

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial \vec{F}:U\subset\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dado por
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(y+x^{2}+6z^{2},\; e^{x+y},\; z+x+y\bigr).
O que se pede é calcular o rotacional desse campo, isto é, \nabla\times\vec{F}.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula que usamos para calcular o rotacional. Se \vec{F}=(F_1,F_2,F_3), então uma forma prática é usar o determinante simbólico
\nabla\times\vec{F}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix},
onde \partial_x significa \dfrac{\partial}{\partial x}, \partial_y significa \dfrac{\partial}{\partial y} e \partial_z significa \dfrac{\partial}{\partial z}.
Também é útil lembrar a forma componente a componente:
\nabla\times\vec{F}=\Bigl(\dfrac{\partial F_3}{\partial y}-\dfrac{\partial F_2}{\partial z},\; \dfrac{\partial F_1}{\partial z}-\dfrac{\partial F_3}{\partial x},\; \dfrac{\partial F_2}{\partial x}-\dfrac{\partial F_1}{\partial y}\Bigr).
Aqui cada F_i é a i-ésima componente do campo: F_1=y+x^2+6z^2, F_2=e^{x+y}, F_3=z+x+y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias. Vou fazer devagar e explicar cada uma.
Para F_1(x,y,z)=y+x^{2}+6z^{2}:
\dfrac{\partial F_1}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(y+x^{2}+6z^{2}\bigr)=2x,
pois y e z são tratados como constantes ao derivar em relação a x; o termo x^2 2x e 6z^2 0.
\dfrac{\partial F_1}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(y+x^{2}+6z^{2}\bigr)=1,
pois a derivada de y em relação a y é 1 e os outros termos são constantes.
\dfrac{\partial F_1}{\partial z} = \dfrac{\partial}{\partial z}\bigl(y+x^{2}+6z^{2}\bigr)=12z,
pois \dfrac{d}{dz}(6z^{2})=12z.
Para F_2(x,y,z)=e^{x+y}:
\dfrac{\partial F_2}{\partial x} = e^{x+y}, \qquad \dfrac{\partial F_2}{\partial y} = e^{x+y}, \qquad \dfrac{\partial F_2}{\partial z} = 0.
Aqui usei que a derivada de e^{x+y} em relação a x é e^{x+y} (tratando y como constante) e análoga em relação a y; como z não aparece em F_2, a derivada em z é zero.
Para F_3(x,y,z)=z+x+y:
\dfrac{\partial F_3}{\partial x}=1,\qquad \dfrac{\partial F_3}{\partial y}=1,\qquad \dfrac{\partial F_3}{\partial z}=1,
cada termo é linear e depende de apenas uma variável.

Passo 4

Agora aplico a fórmula componente a componente do rotacional.
Primeira componente:
(\nabla\times\vec{F})_1=\dfrac{\partial F_3}{\partial y}-\dfrac{\partial F_2}{\partial z}.
Substituindo os valores que calculamos:
(\nabla\times\vec{F})_1 = 1 - 0 = 1.

Passo 5

Segunda componente:
(\nabla\times\vec{F})_2=\dfrac{\partial F_1}{\partial z}-\dfrac{\partial F_3}{\partial x}.
Substituindo:
(\nabla\times\vec{F})_2 = 12z - 1.

Passo 6

Terceira componente:
(\nabla\times\vec{F})_3=\dfrac{\partial F_2}{\partial x}-\dfrac{\partial F_1}{\partial y}.
Substituindo:
(\nabla\times\vec{F})_3 = e^{x+y} - 1.

Passo 7

Juntando as três componentes, o rotacional é
\nabla\times\vec{F}=\bigl(1,\;12z-1,\;e^{x+y}-1\bigr).

Resposta

\nabla \times \vec{F}=(1,\,12z-1,\,e^{x+y}-1)

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