Calcule o rotacional do campo vetorial
Resposta:
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
com componentes
A tarefa é calcular o rotacional (curl)
, ou seja, encontrar o vetor cujas componentes são derivadas parciais apropriadas das componentes de
.
Passo 2
Recordando a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas: para
,
Explicando rápido as ferramentas que vamos usar:
- Derivada parcial
significa derivar tratando como constantes. - Regra do produto:
. - Regra da cadeia: se
então .
Vou aplicar essas regras repetidas vezes porque as componentes têm produtos e funções compostas (, , ).
Passo 3
Calcular a primeira componente do rotacional:
- Calcular
com . A função dentro do é . Pela cadeia,
Logo
- Calcular
com . Aqui e . Pela regra da cadeia,
Multiplicando pelo fator
:
- Subtraindo:
Passo 4
Calcular a segunda componente:
-
não depende de , logo
- Para
com : como no caso anterior,
portanto
- Subtraindo:
Passo 5
Calcular a terceira componente:
- Calcular
com . Usamos a regra do produto (produto de com ):
A primeira parte é
. Para a segunda parte, pela cadeia,
logo
Somando as duas parcelas:
- Calcular
com . Novamente regra do produto:
A primeira parcela é
. Para a segunda, pela cadeia,
Multiplicando por
dá
. Somando:
- Subtraindo:
Reagrupando:
Passo 6
Juntando as três componentes obtidas nos passos anteriores, o rotacional é