Calcule o rotacional do campo vetorial \vec{F}: U \subset \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}
\vec{F}(x, y, z)=(y \cos (x y),-x \sin (x y z), z \ln (x y z))
Resposta:
\nabla \times \vec{F}=\left(x^{2} y \cos (x y z)+\frac{z}{y},-\frac{z}{x},-\sin (x y z)+x y(\sin (x y)-z \cos (x y z))-\cos (x y)\right)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{F}:U\subset\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 com componentes
\vec{F}(x,y,z)=\big(F_1,F_2,F_3\big)=(y\cos(xy),\,-x\sin(xyz),\,z\ln(xyz)).
A tarefa é calcular o rotacional (curl) \nabla\times\vec{F}, ou seja, encontrar o vetor cujas componentes são derivadas parciais apropriadas das componentes de \vec{F}.

Passo 2

Recordando a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas: para \vec{F}=(F_1,F_2,F_3),
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\;\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\;\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right).
Explicando rápido as ferramentas que vamos usar:
  • Derivada parcial \dfrac{\partial}{\partial x} significa derivar tratando y,z como constantes.
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}(u v)=u'\,v+u\,v'.
  • Regra da cadeia: se h(x)=g(u(x)) então h'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
    Vou aplicar essas regras repetidas vezes porque as componentes têm produtos e funções compostas ( \cos, \sin, \ln).

Passo 3

Calcular a primeira componente do rotacional:
(\nabla\times\vec{F})_1=\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}.
  1. Calcular \dfrac{\partial F_3}{\partial y} com F_3(z\ln(xyz)). A função dentro do \ln é u(x,y,z)=xyz. Pela cadeia,
\frac{\partial}{\partial y}\ln(xyz)=\frac{1}{xyz}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xyz)=\frac{1}{xyz}\cdot xz=\frac{1}{y}.
Logo
\frac{\partial F_3}{\partial y}=z\cdot\frac{1}{y}=\frac{z}{y}.
  1. Calcular \dfrac{\partial F_2}{\partial z} com F_2=-x\sin(xyz). Aqui u=xyz e \dfrac{\partial u}{\partial z}=xy. Pela regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial z}\sin(xyz)=\cos(xyz)\cdot xy.
Multiplicando pelo fator -x:
\frac{\partial F_2}{\partial z}=-x\cdot\big(\cos(xyz)\cdot xy\big)=-x^{2}y\cos(xyz).
  1. Subtraindo:
(\nabla\times\vec{F})_1=\frac{z}{y}-\big(-x^{2}y\cos(xyz)\big)=x^{2}y\cos(xyz)+\frac{z}{y}.

Passo 4

Calcular a segunda componente:
(\nabla\times\vec{F})_2=\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}.
  1. F_1=y\cos(xy) não depende de z, logo
\frac{\partial F_1}{\partial z}=0.
  1. Para \dfrac{\partial F_3}{\partial x} com F_3=z\ln(xyz): como no caso anterior,
\frac{\partial}{\partial x}\ln(xyz)=\frac{1}{xyz}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xyz)=\frac{1}{xyz}\cdot yz=\frac{1}{x},
portanto
\frac{\partial F_3}{\partial x}=z\cdot\frac{1}{x}=\frac{z}{x}.
  1. Subtraindo:
(\nabla\times\vec{F})_2=0-\frac{z}{x}=-\frac{z}{x}.

Passo 5

Calcular a terceira componente:
(\nabla\times\vec{F})_3=\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}.
  1. Calcular \dfrac{\partial F_2}{\partial x} com F_2=-x\sin(xyz). Usamos a regra do produto (produto de -x com \sin(xyz)):
\frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial(-x)}{\partial x}\sin(xyz)+(-x)\frac{\partial}{\partial x}\sin(xyz).
A primeira parte é -1\cdot\sin(xyz)=-\sin(xyz). Para a segunda parte, pela cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}\sin(xyz)=\cos(xyz)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xyz)=\cos(xyz)\cdot yz,
logo
(-x)\cdot\big(\cos(xyz)\cdot yz\big)=-x y z\cos(xyz).
Somando as duas parcelas:
\frac{\partial F_2}{\partial x}=-\sin(xyz)-x y z\cos(xyz).
  1. Calcular \dfrac{\partial F_1}{\partial y} com F_1=y\cos(xy). Novamente regra do produto:
\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial y}{\partial y}\cos(xy)+y\frac{\partial}{\partial y}\cos(xy).
A primeira parcela é \cos(xy). Para a segunda, pela cadeia,
\frac{\partial}{\partial y}\cos(xy)=-\sin(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy)=-\sin(xy)\cdot x=-x\sin(xy).
Multiplicando por y -x y\sin(xy). Somando:
\frac{\partial F_1}{\partial y}=\cos(xy)-x y\sin(xy).
  1. Subtraindo:
\begin{aligned} (\nabla\times\vec{F})_3&=\big(-\sin(xyz)-x y z\cos(xyz)\big)-\big(\cos(xy)-x y\sin(xy)\big)\\[4pt] &=-\sin(xyz)-x y z\cos(xyz)-\cos(xy)+x y\sin(xy). \end{aligned}
Reagrupando:
(\nabla\times\vec{F})_3=-\sin(xyz)+x y\big(\sin(xy)-z\cos(xyz)\big)-\cos(xy).]

Passo 6

Juntando as três componentes obtidas nos passos anteriores, o rotacional é
\nabla\times\vec{F}=\left(x^{2}y\cos(xyz)+\frac{z}{y},\; -\frac{z}{x},\; -\sin(xyz)+xy\big(\sin(xy)-z\cos(xyz)\big)-\cos(xy)\right).

Resposta

\nabla\times\vec{F}=\left(x^{2}y\cos(xyz)+\frac{z}{y},\; -\frac{z}{x},\; -\sin(xyz)+xy\big(\sin(xy)-z\cos(xyz)\big)-\cos(xy)\right)

Exercícios relacionados