Identifique a cônica, determine seus vértices, focos, medida dos eixos, assíntotas no caso de hipérboles e reta diretriz no caso de parábola:
f)
f)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
O que é pedido:
- Identificar a cônica;
- Determinar o(s) vértice(s);
- Determinar o(s) foco(s);
- Informar a medida relevante dos eixos (no caso de parábola: largura focal / latus rectum e distância vértice–foco);
- Informar a reta diretriz (já que é parábola) e a equação do eixo de simetria;
- Informar quaisquer outras informações úteis (como os pontos extremos do latus rectum).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação já está em termos de
e sem termos mistos e sem termos quadráticos em além de . - Não há termos lineares em
nem em separados (além do já presente).
Passo 2
Como identificar o tipo de cônica — uma regra prática:
Considere a forma geral
Considere a forma geral
O discriminante que classifica a cônica é
- Se
é elipse (ou círculo); - Se
é parábola; - Se
é hipérbole.
Para a nossa equação
podemos comparar coeficientes:
-
(coeficiente de ), -
(coeficiente de ), -
(coeficiente de ).
Calculando o discriminante:
Como
, a cônica é uma parábola.
Comentário didático: a presença de apenas um termo quadrático (aqui
) e um termo linear em
é típico de parábolas cujo eixo é paralelo ao eixo
ou
.
Passo 3
Colocar a equação na forma padrão de parábola e identificar o parâmetro focal
.
A forma padrão para parábola com eixo horizontal (e vértice na origem) é
onde
é a distância algébrica do vértice ao foco (se
a parábola abre para a direita; se
abre para a esquerda). A distância do vértice até a diretriz é
também.
A nossa equação pode ser reescrita isolando
:
ou seja
Logo
Explicação: o parâmetro
controla a “abertura” e a direção da parábola. Aqui
indica que a parábola abre para a esquerda e que a distância do vértice ao foco é
.
Passo 4
Determinar o vértice e o eixo de simetria.
Quando a parábola está na forma
e não há termos lineares deslocando-a, o vértice está na origem:
O eixo de simetria é a reta que passa pelo vértice e pelo foco; para
essa reta é o eixo
. Assim:
Breve justificativa: termos lineares em
ou
deslocariam o vértice; como não há tais termos (exceto o
que já usamos), o vértice permanece em
.
Passo 5
Determinar o foco e a diretriz.
Para a forma
:
- o foco é o ponto
; - a diretriz é a reta
.
Aplicando
:
Interpretação: o foco fica à esquerda do vértice (porque
) e a diretriz é uma reta vertical à direita do vértice.
Passo 6
Calcular o latus rectum (largura focal) e seus extremos.
O latus rectum (ou focal width) para
tem comprimento absoluto
Além disso, os extremos do latus rectum ficam na abscissa
e nas ordenadas
. Uma fórmula prática para os extremos é
, mas ao reportar valores numéricos é melhor usar o valor absoluto na ordenada para não confundir sinais.
Com
:
Extremos do latus rectum:
isto é os pontos
e
.
Também a distância vértice–foco vale
.
Passo 7
Resumo rápido (o que usar na hora da prova):
- Verificar discriminante
para identificar parábola. - Colocar em
ou (dependendo da orientação). - Ler
e deduzir foco ou , diretriz ou , eixo de simetria e latus rectum de comprimento . - Se houver termos lineares, completar quadrado para transladar para a forma padrão; aqui não foi necessário.
Resposta
Parábola:
.
Vértice: .
Foco: .
Eixo de simetria: .
Diretriz: .
Distância vértice–foco: .
Largura focal (latus rectum): ; extremos do latus rectum:
e
.
Vértice:
Foco:
Eixo de simetria:
Diretriz:
Distância vértice–foco:
Largura focal (latus rectum):