Identifique a cônica, determine seus vértices, focos, medida dos eixos, assíntotas no caso de hipérboles e reta diretriz no caso de parábola:
f) y^{2}+28 x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
y^{2}+28x=0.
O que é pedido:
  • Identificar a cônica;
  • Determinar o(s) vértice(s);
  • Determinar o(s) foco(s);
  • Informar a medida relevante dos eixos (no caso de parábola: largura focal / latus rectum e distância vértice–foco);
  • Informar a reta diretriz (já que é parábola) e a equação do eixo de simetria;
  • Informar quaisquer outras informações úteis (como os pontos extremos do latus rectum).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação já está em termos de x e y sem termos mistos xy e sem termos quadráticos em x além de y^{2}.
  • Não há termos lineares em y nem em x separados (além do 28x já presente).

Passo 2

Como identificar o tipo de cônica — uma regra prática:
Considere a forma geral
Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.
O discriminante que classifica a cônica é
\Delta = B^{2}-4AC.
  • Se \Delta<0 é elipse (ou círculo);
  • Se \Delta=0 é parábola;
  • Se \Delta>0 é hipérbole.
Para a nossa equação y^{2}+28x=0 podemos comparar coeficientes:
  • A=0 (coeficiente de x^{2}),
  • B=0 (coeficiente de xy),
  • C=1 (coeficiente de y^{2}).
Calculando o discriminante:
\Delta = 0^{2}-4\cdot 0\cdot 1 = 0.
Como \Delta=0, a cônica é uma parábola.
Comentário didático: a presença de apenas um termo quadrático (aqui y^{2}) e um termo linear em x é típico de parábolas cujo eixo é paralelo ao eixo x ou y.

Passo 3

Colocar a equação na forma padrão de parábola e identificar o parâmetro focal p.
A forma padrão para parábola com eixo horizontal (e vértice na origem) é
y^{2}=4p x,
onde p é a distância algébrica do vértice ao foco (se p>0 a parábola abre para a direita; se p<0 abre para a esquerda). A distância do vértice até a diretriz é |p| também.
A nossa equação pode ser reescrita isolando x:
y^{2}=-28x,
ou seja
y^{2}=4p x \quad\Rightarrow\quad 4p=-28.
Logo
p=-7.
Explicação: o parâmetro p controla a “abertura” e a direção da parábola. Aqui p=-7 indica que a parábola abre para a esquerda e que a distância do vértice ao foco é 7.

Passo 4

Determinar o vértice e o eixo de simetria.
Quando a parábola está na forma y^{2}=4px e não há termos lineares deslocando-a, o vértice está na origem:
\text{Vértice: }(0,0).é
O eixo de simetria é a reta que passa pelo vértice e pelo foco; para y^{2}=4px essa reta é o eixo x. Assim:
\text{Eixo de simetria: }y=0.
Breve justificativa: termos lineares em x ou y deslocariam o vértice; como não há tais termos (exceto o 28x que já usamos), o vértice permanece em (0,0).

Passo 5

Determinar o foco e a diretriz.
Para a forma y^{2}=4px:
  • o foco é o ponto (p,0);
  • a diretriz é a reta x=-p.
Aplicando p=-7:
\text{Foco: }(p,0)=(-7,0).
\text{Diretriz: }x=-p = x=7.
Interpretação: o foco fica à esquerda do vértice (porque p<0) e a diretriz é uma reta vertical à direita do vértice.

Passo 6

Calcular o latus rectum (largura focal) e seus extremos.
O latus rectum (ou focal width) para y^{2}=4px tem comprimento absoluto
\ell = |4p|.
Além disso, os extremos do latus rectum ficam na abscissa x=p e nas ordenadas \pm 2|p|. Uma fórmula prática para os extremos é (p,\pm 2p), mas ao reportar valores numéricos é melhor usar o valor absoluto na ordenada para não confundir sinais.
Com p=-7:
\ell = |4\cdot(-7)| = 28.
Extremos do latus rectum:
(p, \pm 2|p|)=(-7,\pm 14),
isto é os pontos (-7,14) e (-7,-14).
Também a distância vértice–foco vale |p|=7.

Passo 7

Resumo rápido (o que usar na hora da prova):
  • Verificar discriminante B^{2}-4AC para identificar parábola.
  • Colocar em y^{2}=4px ou x^{2}=4py (dependendo da orientação).
  • Ler p e deduzir foco (p,0) ou (0,p), diretriz x=-p ou y=-p, eixo de simetria e latus rectum de comprimento |4p|.
  • Se houver termos lineares, completar quadrado para transladar para a forma padrão; aqui não foi necessário.

Resposta

Parábola: y^{2}=-28x.
Vértice: (0,0).
Foco: (-7,0).
Eixo de simetria: y=0.
Diretriz: x=7.
Distância vértice–foco: 7.
Largura focal (latus rectum): 28; extremos do latus rectum: (-7,14) e (-7,-14).

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