Mostre que um campo gravitacional não tem spin (ou seja \nabla \times \vec{F}=\overrightarrow{0} ). Faça isso de duas maneiras:
a) Usando a definição
\vec{F}(x, y, z)=-\frac{G M m}{r^{2}} \hat{r}=-G M m \frac{\vec{r}}{r^{3}}=-G M m\left(\frac{x}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}, \frac{y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}, \frac{z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}\right)
b) Mostramos em aula que existe um potencial f(r)=\frac{G M m}{r}, cujo gradiente é dado por
\nabla f(r)=\nabla\left(\frac{G M m}{r}\right)=G M m\left(\frac{1}{r}\right)=G M m\left(-\frac{1}{r^{2}}\right) \hat{r}=\vec{F}(x, y, z)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pedido: Mostrar que o campo gravitacional tem “spin” nulo, isto é demonstrar que \nabla\times\vec{F}=\vec{0}. Fazer isso de duas maneiras: (a) calculando diretamente o rotacional a partir da expressão em coordenadas cartesianas; (b) usando que existe um potencial escalar f(r) tal que \vec{F}=\nabla f e uma identidade vetorial conhecida.
  • Dados (peguei-os do enunciado):
    • A força gravitacional é
    \vec{F}(x,y,z)=-\frac{G M m}{r^{2}}\hat r=-G M m\frac{\vec r}{r^{3}}=-G M m\left(\frac{x}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3/2}},\frac{y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3/2}},\frac{z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}\right).
    • Existe o potencial escalar (fornecido em aula)
    f(r)=\frac{G M m}{r},
    cuja derivada espacial satisfaz \nabla f(r)=\vec{F}(x,y,z).
Observação importante (será usada na conclusão): o campo é singular em r=0. As igualdades abaixo valem para o domínio \mathbb{R}^3\setminus\{0\} (ou seja, para r\neq 0).

Passo 2

Definição e fórmula do rotacional (curl) em coordenadas cartesianas — aula rápida.
  • Definição: o rotacional de um campo vetorial \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) é o vetor cujas componentes são
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\; \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\; \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right).
  • Interpretação rápida: cada componente compara variações cruzadas das componentes do campo; se essas diferenças se anularem para todas as componentes, o rotacional é nulo e o campo é localmente irrotacional (sem “spin”).
Vou aplicar essa fórmula ao campo gravitacional componente a componente. Para simplificar cálculos, vou introduzir notação curta.

Passo 3

Notação curta e preparação das derivações.
  • Defino a constante
k=-G M m,
para evitar carregar sinais e constantes em todas as contas. Assim
\vec{F}=\bigl(F_x,F_y,F_z\bigr)=\bigl(k\,x\,R^{-3/2},\;k\,y\,R^{-3/2},\;k\,z\,R^{-3/2}\bigr),
onde
R:=x^{2}+y^{2}+z^{2},\qquad R>0\\ (\text{ou seja } r=\sqrt{R}\neq 0).
  • Observação de derivada que usaremos muito (regra da cadeia): para R^{-3/2},
\frac{\partial}{\partial u}R^{-3/2}=-\frac{3}{2}R^{-5/2}\frac{\partial R}{\partial u}=-\frac{3}{2}R^{-5/2}\cdot 2u=-3u\,R^{-5/2},
onde u é x, y ou z. Isso segue de d(R^{-3/2})/dR = -\tfrac{3}{2}R^{-5/2} e \partial R/\partial u=2u.

Passo 4

Cálculo explícito da primeira componente do rotacional: \displaystyle (\nabla\times\vec{F})_x=\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}.
  • Começo calculando \displaystyle \frac{\partial F_z}{\partial y}. Como F_z=k\,z\,R^{-3/2} e z é independente de y,
\frac{\partial F_z}{\partial y}=k\cdot z\cdot\frac{\partial}{\partial y}\bigl(R^{-3/2}\bigr)=k\cdot z\cdot\bigl(-3y\,R^{-5/2}\bigr)=-3k\,y z\,R^{-5/2}.
  • Agora \displaystyle \frac{\partial F_y}{\partial z}. Como F_y=k\,y\,R^{-3/2} e y é independente de z,
\frac{\partial F_y}{\partial z}=k\cdot y\cdot\frac{\partial}{\partial z}\bigl(R^{-3/2}\bigr)=k\cdot y\cdot\bigl(-3z\,R^{-5/2}\bigr)=-3k\,y z\,R^{-5/2}.
  • Subtraindo:
(\nabla\times\vec{F})_x=\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}=-3k\,y z\,R^{-5/2}-\bigl(-3k\,y z\,R^{-5/2}\bigr)=0.

Passo 5

Cálculo da segunda componente: \displaystyle (\nabla\times\vec{F})_y=\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}.
  • Calcule \displaystyle \frac{\partial F_x}{\partial z}. Com F_x=k x R^{-3/2} e x independente de z,
\frac{\partial F_x}{\partial z}=k\cdot x\cdot\frac{\partial}{\partial z}\bigl(R^{-3/2}\bigr)=k\cdot x\cdot\bigl(-3z\,R^{-5/2}\bigr)=-3k\,x z\,R^{-5/2}.
  • Calcule \displaystyle \frac{\partial F_z}{\partial x}. Com F_z=k z R^{-3/2},
\frac{\partial F_z}{\partial x}=k\cdot z\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(R^{-3/2}\bigr)=k\cdot z\cdot\bigl(-3x\,R^{-5/2}\bigr)=-3k\,x z\,R^{-5/2}.
  • Subtraindo:
(\nabla\times\vec{F})_y=\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}=-3k\,x z\,R^{-5/2}-\bigl(-3k\,x z\,R^{-5/2}\bigr)=0.

Passo 6

Cálculo da terceira componente: \displaystyle (\nabla\times\vec{F})_z=\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}.
  • Calcule \displaystyle \frac{\partial F_y}{\partial x}. Com F_y=k y R^{-3/2},
\frac{\partial F_y}{\partial x}=k\cdot y\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(R^{-3/2}\bigr)=k\cdot y\cdot\bigl(-3x\,R^{-5/2}\bigr)=-3k\,x y\,R^{-5/2}.
  • Calcule \displaystyle \frac{\partial F_x}{\partial y}. Com F_x=k x R^{-3/2},
\frac{\partial F_x}{\partial y}=k\cdot x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\bigl(R^{-3/2}\bigr)=k\cdot x\cdot\bigl(-3y\,R^{-5/2}\bigr)=-3k\,x y\,R^{-5/2}.
  • Subtraindo:
(\nabla\times\vec{F})_z=\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}=-3k\,x y\,R^{-5/2}-\bigl(-3k\,x y\,R^{-5/2}\bigr)=0.

Passo 7

Conclusão do método (a) — rotacional calculado.
  • Reunindo as componentes, obtemos
\nabla\times\vec{F}=\bigl(0,0,0\bigr)=\vec{0},
valendo para todo ponto com r\neq 0. Ou seja, o campo gravitacional é irrotacional em \mathbb{R}^3\setminus\{0\}.

Passo 8

Método (b): usar que existe um potencial escalar e identidade vetorial — aula breve.
  • Identidade vetorial fundamental: para qualquer função escalar suficientemente suave \varphi(\vec r) definida em um domínio simplesmente conexo, vale
\nabla\times\bigl(\nabla\varphi\bigr)=\vec{0}.
Isto é uma identidade padrão de cálculo vetorial. A razão (intuitiva) é que derivadas mistas de segunda ordem aparecem em ordem trocada e se igualam (pela igualdade das derivadas parciais de segunda ordem sob hipóteses de regularidade), fazendo as diferenças do rotacional se anular.
  • No enunciado temos o potencial f(r)=\dfrac{G M m}{r}. Usando a regra \nabla(1/r)=-\dfrac{\vec r}{r^{3}} (uma derivada conhecida), segue que
\nabla f(r)=G M m\,\nabla\!\left(\frac{1}{r}\right)=G M m\left(-\frac{\vec r}{r^{3}}\right)=-G M m\frac{\vec r}{r^{3}}=\vec{F}.
Logo \vec{F} é o gradiente de f: \vec{F}=\nabla f (novamente válido para r\neq 0).

Passo 9

Conclusão do método (b) — aplicação da identidade.
  • Aplicando a identidade do rotacional sobre um gradiente,
\nabla\times\vec{F}=\nabla\times\bigl(\nabla f\bigr)=\vec{0},
novamente com a ressalva r\neq 0 (pois em r=0 o potencial e o campo não são regulares).
  • Portanto, pelo método do potencial, o rotacional também é nulo.

Resposta

(a) \nabla\times\vec{F}=\vec{0} para r\neq 0.
(b) \nabla\times\vec{F}=\vec{0} para r\neq 0.

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