Mostre que um campo gravitacional não tem spin (ou seja
). Faça isso de duas maneiras:
a) Usando a definição
b) Mostramos em aula que existe um potencial
, cujo gradiente é dado por
a) Usando a definição
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
-
Pedido: Mostrar que o campo gravitacional tem “spin” nulo, isto é demonstrar que
. Fazer isso de duas maneiras: (a) calculando diretamente o rotacional a partir da expressão em coordenadas cartesianas; (b) usando que existe um potencial escalar tal que e uma identidade vetorial conhecida. -
Dados (peguei-os do enunciado):
- A força gravitacional é
- Existe o potencial escalar (fornecido em aula)
cuja derivada espacial satisfaz.
Observação importante (será usada na conclusão): o campo é singular em
. As igualdades abaixo valem para o domínio
(ou seja, para
).
Passo 2
Definição e fórmula do rotacional (curl) em coordenadas cartesianas — aula rápida.
- Definição: o rotacional de um campo vetorial
é o vetor cujas componentes são
- Interpretação rápida: cada componente compara variações cruzadas das componentes do campo; se essas diferenças se anularem para todas as componentes, o rotacional é nulo e o campo é localmente irrotacional (sem “spin”).
Vou aplicar essa fórmula ao campo gravitacional componente a componente. Para simplificar cálculos, vou introduzir notação curta.
Passo 3
Notação curta e preparação das derivações.
- Defino a constante
para evitar carregar sinais e constantes em todas as contas. Assim
onde
- Observação de derivada que usaremos muito (regra da cadeia): para
,
onde
é
,
ou
. Isso segue de
e
.
Passo 4
Cálculo explícito da primeira componente do rotacional:
.
- Começo calculando
. Como e é independente de ,
- Agora
. Como e é independente de ,
- Subtraindo:
Passo 5
Cálculo da segunda componente:
.
- Calcule
. Com e independente de ,
- Calcule
. Com ,
- Subtraindo:
Passo 6
Cálculo da terceira componente:
.
- Calcule
. Com ,
- Calcule
. Com ,
- Subtraindo:
Passo 7
Conclusão do método (a) — rotacional calculado.
- Reunindo as componentes, obtemos
valendo para todo ponto com
. Ou seja, o campo gravitacional é irrotacional em
.
Passo 8
Método (b): usar que existe um potencial escalar e identidade vetorial — aula breve.
- Identidade vetorial fundamental: para qualquer função escalar suficientemente suave
definida em um domínio simplesmente conexo, vale
Isto é uma identidade padrão de cálculo vetorial. A razão (intuitiva) é que derivadas mistas de segunda ordem aparecem em ordem trocada e se igualam (pela igualdade das derivadas parciais de segunda ordem sob hipóteses de regularidade), fazendo as diferenças do rotacional se anular.
- No enunciado temos o potencial
. Usando a regra (uma derivada conhecida), segue que
Logo
é o gradiente de
:
(novamente válido para
).
Passo 9
Conclusão do método (b) — aplicação da identidade.
- Aplicando a identidade do rotacional sobre um gradiente,
novamente com a ressalva
(pois em
o potencial e o campo não são regulares).
- Portanto, pelo método do potencial, o rotacional também é nulo.
Resposta
(a)
para
.
(b) para
.
(b)