Calcule o rotacional dos campos vetoriais:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o rotacional do campo vetorial dado. Informações fornecidas:
- Campo vetorial:
. - Interpretação conveniente: considerar
como um campo em três dimensões com componente nula, ou seja , , . - Pergunta: calcular
.
Passo 2
Definição do rotacional (fórmula que vamos usar) e explicação didática: \n
O rotacional de um campo vetorial é o vetor dado por
O rotacional de um campo vetorial
O que isso significa, em palavras simples:
- Cada componente do rotacional é uma diferença de derivadas parciais das componentes de
. - Derivada parcial
quer dizer: quanto muda quando variamos só a variável , mantendo e fixos. - Essas combinações medem a tendência local do campo de “girar” em torno de cada eixo.
Passo 3
Identificar as componentes do campo que temos:
Vou calcular cada derivada parcial que aparece na fórmula do rotacional usando essas expressões. Lembre-se: ao derivar em relação a uma variável que não aparece na função, a derivada é zero.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais uma a uma, explicando por que cada uma é zero ou não:
- Para a componente
:
pois
é a função zero e
não depende de
. Logo a componente
do rotacional é
.
- Para a componente
:
pois
não depende de
e
. Logo a componente
é
.
- Para a componente
:
pois
não depende de
e
não depende de
. Logo a componente
é
.
Passo 5
Montando o resultado com as componentes calculadas, obtemos
Interpretação rápida e útil para prova: o campo
é irrotacional (rotacional nulo). Isso também indica que
é gradiente de algum potencial escalar (por exemplo
satisfaz
) em domínios simplesmente conexos.
Passo 6
Exemplo contrastante (para fixar a ideia): o campo
tem componente
do rotacional igual a
ou seja
, mostrando um caso com rotação não nula. Isso ajuda a identificar rapidamente quando há ou não circulação local.