Calcule o rotacional dos campos vetoriais:
\vec{F}=x \hat{i}+y \hat{j}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional do campo vetorial dado. Informações fornecidas:
  • Campo vetorial: \vec{F}=x\hat{i}+y\hat{j}.
  • Interpretação conveniente: considerar \vec{F} como um campo em três dimensões com componente z nula, ou seja F_x=x, F_y=y, F_z=0.
  • Pergunta: calcular \nabla\times\vec{F}.

Passo 2

Definição do rotacional (fórmula que vamos usar) e explicação didática: \n
O rotacional de um campo vetorial \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) é o vetor dado por
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat{i}+\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat{j}+\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat{k}.
O que isso significa, em palavras simples:
  • Cada componente do rotacional é uma diferença de derivadas parciais das componentes de \vec{F}.
  • Derivada parcial \partial F_x/\partial y quer dizer: quanto F_x muda quando variamos só a variável y, mantendo x e z fixos.
  • Essas combinações medem a tendência local do campo de “girar” em torno de cada eixo.

Passo 3

Identificar as componentes do campo que temos:
F_x = x,\qquad F_y = y,\qquad F_z = 0.
Vou calcular cada derivada parcial que aparece na fórmula do rotacional usando essas expressões. Lembre-se: ao derivar em relação a uma variável que não aparece na função, a derivada é zero.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais uma a uma, explicando por que cada uma é zero ou não:
  1. Para a componente \hat{i}:
\frac{\partial F_z}{\partial y}=\frac{\partial 0}{\partial y}=0, \qquad \frac{\partial F_y}{\partial z}=\frac{\partial y}{\partial z}=0,
pois F_z é a função zero e y não depende de z. Logo a componente \hat{i} do rotacional é 0-0=0.
  1. Para a componente \hat{j}:
\frac{\partial F_x}{\partial z}=\frac{\partial x}{\partial z}=0, \qquad \frac{\partial F_z}{\partial x}=\frac{\partial 0}{\partial x}=0,
pois x não depende de z e F_z=0. Logo a componente \hat{j} é 0-0=0.
  1. Para a componente \hat{k}:
\frac{\partial F_y}{\partial x}=\frac{\partial y}{\partial x}=0, \qquad \frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial x}{\partial y}=0,
pois y não depende de x e x não depende de y. Logo a componente \hat{k} é 0-0=0.

Passo 5

Montando o resultado com as componentes calculadas, obtemos
\nabla\times\vec{F}=0\hat{i}+0\hat{j}+0\hat{k}=\vec{0}.
Interpretação rápida e útil para prova: o campo \vec{F}=x\hat{i}+y\hat{j} é irrotacional (rotacional nulo). Isso também indica que \vec{F} é gradiente de algum potencial escalar (por exemplo \varphi=\tfrac{1}{2}(x^2+y^2) satisfaz \nabla\varphi=\vec{F}) em domínios simplesmente conexos.

Passo 6

Exemplo contrastante (para fixar a ideia): o campo \vec{G}=-y\hat{i}+x\hat{j} tem componente \hat{k} do rotacional igual a
\frac{\partial G_y}{\partial x}-\frac{\partial G_x}{\partial y}=\frac{\partial x}{\partial x}-\frac{\partial(-y)}{\partial y}=1-(-1)=2,
ou seja \nabla\times\vec{G}=2\hat{k}, mostrando um caso com rotação não nula. Isso ajuda a identificar rapidamente quando há ou não circulação local.

Resposta

\nabla\times\vec{F}=\vec{0}

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