Calcule o rotacional dos campos vetoriais:
\vec{F}=-\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \hat{i}+\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \hat{j}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional do campo vetorial
\vec{F} = -\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,\hat{i} + \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,\hat{j}.
Informações dadas:
  • As componentes do campo são F_x(x,y) = -\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}} e F_y(x,y) = \dfrac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
  • O campo não está definido em (x,y)=(0,0) porque o denominador x^{2}+y^{2} fica nulo aí.
    A pergunta é: qual é o rotacional \nabla\times\vec{F} (texto pede o rotacional do campo dado)?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado de forma prática): para um campo plano em xy com terceira componente nula (isto é, \vec{F}=(F_x,F_y,0)), o rotacional é um vetor com apenas componente na direção z. A fórmula é
\nabla\times\vec{F}=\left(0,0,\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right).
Aqui \displaystyle\frac{\partial F_y}{\partial x} significa “derivar F_y em relação a x mantendo y fixo” e \displaystyle\frac{\partial F_x}{\partial y} significa “derivar F_x em relação a y mantendo x fixo”. Na prática, aplicamos regras normais de derivação (produto, quociente) considerando a outra variável como constante.

Passo 3

Calcular \displaystyle\frac{\partial F_y}{\partial x}. Escrevendo F_y=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}, aplicamos a regra do quociente: se u=x^{2} e v=x^{2}+y^{2}, então
\frac{du}{dx}=2x,\qquad \frac{dv}{dx}=2x,
e
\frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{(du/dx)\,v - u\,(dv/dx)}{v^{2}} = \frac{2x(x^{2}+y^{2}) - x^{2}\cdot 2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora simplificamos o numerador:
2x(x^{2}+y^{2}) - 2x x^{2} = 2x x^{2} + 2x y^{2} - 2x x^{2} = 2x y^{2}.
Portanto
\frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{2x y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Calcular \displaystyle\frac{\partial F_x}{\partial y}. Escrevendo F_x=-\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}, aplicamos novamente a regra do quociente com u=-x (que não depende de y) e v=x^{2}+y^{2}:
\frac{du}{dy}=0,\qquad \frac{dv}{dy}=2y,
então
\frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{(du/dy)\,v - u\,(dv/dy)}{v^{2}} = \frac{0\cdot (x^{2}+y^{2}) - (-x)\cdot 2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 5

Subtrair as derivadas para obter a componente z do rotacional:
\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{2x y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} - \frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Fatorando \dfrac{2x y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} obtemos
\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{2x y\bigl(y-1\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 6

Escrevendo o rotacional completo (vetor em 3D com só componente z não nula) e lembrando que a expressão vale para (x,y)\neq(0,0):
\nabla\times\vec{F}=\left(0,0,\frac{2x y (y-1)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\right).
Observações rápidas e úteis para prova:
  • O campo não está definido em (0,0), logo o rotacional não pode ser avaliado ali a partir desta fórmula.
  • Em pontos onde y=0 ou y=1 a componente z do rotacional vale zero (linha y=0 e linha y=1 são casos particulares).
  • Na prova: identifique componente z do rotacional para campos planos, calcule as derivadas parciais com cuidado usando quociente, e simplifique fato comum.

Resposta

\nabla\times\vec{F}=\left(0,0,\dfrac{2x y (y-1)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\right)

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