Calcule o rotacional dos campos vetoriais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o rotacional do campo vetorial
Informações dadas:
- As componentes do campo são
e . - O campo não está definido em
porque o denominador fica nulo aí.
A pergunta é: qual é o rotacional(texto pede o rotacional do campo dado)?
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado de forma prática): para um campo plano em
com terceira componente nula (isto é,
), o rotacional é um vetor com apenas componente na direção
. A fórmula é
Aqui
significa “derivar
em relação a
mantendo
fixo” e
significa “derivar
em relação a
mantendo
fixo”. Na prática, aplicamos regras normais de derivação (produto, quociente) considerando a outra variável como constante.
Passo 3
Calcular
. Escrevendo
, aplicamos a regra do quociente: se
e
, então
e
Agora simplificamos o numerador:
Portanto
Passo 4
Calcular
. Escrevendo
, aplicamos novamente a regra do quociente com
(que não depende de
) e
:
então
Passo 5
Subtrair as derivadas para obter a componente
do rotacional:
Fatorando
obtemos
Passo 6
Escrevendo o rotacional completo (vetor em 3D com só componente
não nula) e lembrando que a expressão vale para
:
Observações rápidas e úteis para prova:
- O campo não está definido em
, logo o rotacional não pode ser avaliado ali a partir desta fórmula. - Em pontos onde
ou a componente do rotacional vale zero (linha e linha são casos particulares). - Na prova: identifique componente
do rotacional para campos planos, calcule as derivadas parciais com cuidado usando quociente, e simplifique fato comum.