Calcule o rotacional dos campos vetoriais:
\vec{F}=\hat{i}+\hat{j}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o rotacional do campo vetorial dado. As informações fornecidas são:
  • O campo vetorial é \vec{F}=\hat{i}+\hat{j}.
  • Queremos \nabla\times\vec{F} (o rotacional de \vec{F}).
Dados explícitos que vou usar (peguei do enunciado):
  • Componente x de \vec{F}: F_x=1.
  • Componente y de \vec{F}: F_y=1.
  • Componente z de \vec{F}: F_z=0.

Passo 2

O que é o rotacional e como calculamos na prática.
  • Definição operacional: o rotacional de um campo vetorial \vec{F} em coordenadas cartesianas é dado por
\nabla\times\vec{F},
onde o operador nabla é
\nabla = \hat{i}\,\frac{\partial}{\partial x}+\hat{j}\,\frac{\partial}{\partial y}+\hat{k}\,\frac{\partial}{\partial z}.
  • Forma prática (determinante): costuma-se calcular o rotacional usando a expressão em forma de determinante
\nabla\times\vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\[4pt] \displaystyle\frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\\[6pt] F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \hat{i},\hat{j},\hat{k}: vetores unitários nas direções x,y,z.
  • \dfrac{\partial}{\partial x},\dfrac{\partial}{\partial y},\dfrac{\partial}{\partial z}: derivações parciais em relação às variáveis x,y,z.
  • F_x,F_y,F_z: componentes do campo \vec{F}.]

Passo 3

Vou substituir as componentes do campo na fórmula e calcular cada componente do rotacional separadamente.
Usando a forma componente a componente, o rotacional tem componentes:
(\nabla\times\vec{F})_x=\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},
(\nabla\times\vec{F})_y=\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},
(\nabla\times\vec{F})_z=\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}.

Passo 4

Calcular cada derivada parcial com as componentes F_x=1, F_y=1, F_z=0. Como são constantes, as derivadas parciais dão zero — vou mostrar explicitamente cada termo:
  • Para a componente x:
(\nabla\times\vec{F})_x=\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}=\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 1}{\partial z}=0-0=0.
  • Para a componente y:
(\nabla\times\vec{F})_y=\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}=\frac{\partial 1}{\partial z}-\frac{\partial 0}{\partial x}=0-0=0.
  • Para a componente z:
(\nabla\times\vec{F})_z=\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial 1}{\partial x}-\frac{\partial 1}{\partial y}=0-0=0.

Passo 5

Montando as componentes obtidas, o rotacional completo é
\nabla\times\vec{F}=0\,\hat{i}+0\,\hat{j}+0\,\hat{k}=\vec{0}.
Interpretação curta e útil para a prova: \vec{F} é um campo constante (todas as componentes constantes), por isso não tem “rotação” local — o rotacional é nulo. Além disso, campos com rotacional zero (em domínios apropriados) são irrotacionais e, geralmente, conservativos; aqui um potencial escalar é \varphi(x,y,z)=x+y porque \nabla\varphi=(1,1,0)=\vec{F}.

Passo 6

Exemplo contrastante (para fixar a ideia): o campo \vec{G}=-y\,\hat{i}+x\,\hat{j} tem
(\nabla\times\vec{G})_z=\frac{\partial G_y}{\partial x}-\frac{\partial G_x}{\partial y}=1-(-1)=2,
ou seja \nabla\times\vec{G}=2\,\hat{k}, que é um caso com rotacional não nulo — isso ajuda a ver a diferença entre um campo constante (rotacional zero) e um campo que efetivamente “gira”.

Resposta

\vec{0}

Exercícios relacionados