Calcule o rotacional dos campos vetoriais: \vec{F}=x^{2} \hat{i}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o rotacional do campo vetorial fornecido. Informações dadas:
O campo vetorial é \vec{F} = x^{2}\,\hat{i}.
Não há outros termos em \hat{j} ou \hat{k}.
O que se precisa entregar:
O valor de \nabla\times\vec{F} (o rotacional de \vec{F}) em forma vetorial.
Passo 2
Relembrando a definição prática do rotacional (a “fórmula básica” que vamos usar): para um campo \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) em coordenadas cartesianas, o rotacional é dado por
onde \partial_x significa \dfrac{\partial}{\partial x}, \partial_y significa \dfrac{\partial}{\partial y} e \partial_z significa \dfrac{\partial}{\partial z}. Explicando em palavras: o rotacional mede a tendência local de rotação do campo — usa derivadas parciais das componentes do campo para formar os componentes do vetor resultante.
Passo 3
Identificar as componentes do campo \vec{F}. Dado \vec{F}=x^{2}\,\hat{i}, temos:
F_x = x^{2},\qquad F_y = 0,\qquad F_z = 0.
Passo 4
Aplicar a fórmula do determinante para obter cada componente do rotacional. Escrevendo explicitamente as componentes:
Interpretação curta e amigável: o campo \vec{F}=x^{2}\,\hat{i} não tem “vorticidade” local — ele é irrotacional em todo o espaço, porque suas componentes não variam de forma que gerem rotação (as derivadas cruzadas deram zero).