Calcule o rotacional dos campos vetoriais:
\vec{F}=x^{2} \hat{i}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional do campo vetorial fornecido. Informações dadas:
  • O campo vetorial é \vec{F} = x^{2}\,\hat{i}.
  • Não há outros termos em \hat{j} ou \hat{k}.
O que se precisa entregar:
  • O valor de \nabla\times\vec{F} (o rotacional de \vec{F}) em forma vetorial.

Passo 2

Relembrando a definição prática do rotacional (a “fórmula básica” que vamos usar): para um campo \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) em coordenadas cartesianas, o rotacional é dado por
\nabla\times\vec{F}= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix},
onde \partial_x significa \dfrac{\partial}{\partial x}, \partial_y significa \dfrac{\partial}{\partial y} e \partial_z significa \dfrac{\partial}{\partial z}. Explicando em palavras: o rotacional mede a tendência local de rotação do campo — usa derivadas parciais das componentes do campo para formar os componentes do vetor resultante.

Passo 3

Identificar as componentes do campo \vec{F}. Dado \vec{F}=x^{2}\,\hat{i}, temos:
F_x = x^{2},\qquad F_y = 0,\qquad F_z = 0.

Passo 4

Aplicar a fórmula do determinante para obter cada componente do rotacional. Escrevendo explicitamente as componentes:
\nabla\times\vec{F} = \left(\dfrac{\partial F_z}{\partial y}-\dfrac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat{i} +\left(\dfrac{\partial F_x}{\partial z}-\dfrac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat{j} +\left(\dfrac{\partial F_y}{\partial x}-\dfrac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat{k}.
Agora calculamos cada derivada parcial usando F_x=x^{2}, F_y=0, F_z=0.
  • Componente \hat{i}:
\dfrac{\partial F_z}{\partial y}-\dfrac{\partial F_y}{\partial z}= \dfrac{\partial 0}{\partial y}-\dfrac{\partial 0}{\partial z}=0-0=0.
  • Componente \hat{j}:
\dfrac{\partial F_x}{\partial z}-\dfrac{\partial F_z}{\partial x}= \dfrac{\partial (x^{2})}{\partial z}-\dfrac{\partial 0}{\partial x}=0-0=0,
pois x^{2} não depende de z, então \dfrac{\partial (x^{2})}{\partial z}=0.
  • Componente \hat{k}:
\dfrac{\partial F_y}{\partial x}-\dfrac{\partial F_x}{\partial y}= \dfrac{\partial 0}{\partial x}-\dfrac{\partial (x^{2})}{\partial y}=0-0=0,
pois x^{2} não depende de y, então \dfrac{\partial (x^{2})}{\partial y}=0.

Passo 5

Juntando as componentes calculadas:
\nabla\times\vec{F}=0\,\hat{i}+0\,\hat{j}+0\,\hat{k}=\vec{0}.
Interpretação curta e amigável: o campo \vec{F}=x^{2}\,\hat{i} não tem “vorticidade” local — ele é irrotacional em todo o espaço, porque suas componentes não variam de forma que gerem rotação (as derivadas cruzadas deram zero).

Resposta

\nabla\times\vec{F}=\vec{0}

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