Prove que \nabla \times(f \nabla f)=0, onde f é um campo escalar diferenciável.

Passo 1

O enunciado pede para provar que \nabla\times(f\nabla f)=0, onde f é um campo escalar diferenciável.
Informações dadas:
  • f é uma função escalar de variáveis (x,y,z) (isto é, f=f(x,y,z)).
  • Deseja-se mostrar que o rotacional (curl) do campo vetorial f\nabla f é o vetor nulo.

Passo 2

Definição e notação do gradiente.
O gradiente de f é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f:
\nabla f = \bigl(f_x,f_y,f_z\bigr),
onde \displaystyle f_x=\frac{\partial f}{\partial x},\quad f_y=\frac{\partial f}{\partial y},\quad f_z=\frac{\partial f}{\partial z}.
Intuição rápida: \nabla f aponta na direção de maior crescimento de f e suas componentes são as taxas de variação de f nas direções x,y,z.

Passo 3

Definição do rotacional (curl).
Para um campo vetorial \mathbf{G}=(G_x,G_y,G_z), o rotacional é definido pelas componentes:
\nabla\times\mathbf{G}=\bigl(\,G_{z,y}-G_{y,z},\;G_{x,z}-G_{z,x},\;G_{y,x}-G_{x,y}\,\bigr),
onde, por exemplo, G_{z,y}=\frac{\partial G_z}{\partial y}.
Intuição: o rotacional mede a tendência de rotação local do campo.

Passo 4

Escrever explicitamente o campo f\nabla f.
Temos
f\nabla f = \bigl(f f_x,\; f f_y,\; f f_z\bigr).
Vou calcular o rotacional componente a componente usando a definição dada no Passo 3 e a regra do produto para derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial y}(f f_z)=f_y f_z + f \, f_{z,y}, \qquad \frac{\partial}{\partial z}(f f_y)=f_z f_y + f \, f_{y,z}.

Passo 5

Calcular a primeira componente do rotacional.
Pela definição,
(\nabla\times(f\nabla f))_x = \frac{\partial}{\partial y}(f f_z) - \frac{\partial}{\partial z}(f f_y).
Substituindo as expansões do Passo 4:
(\nabla\times(f\nabla f))_x = \bigl(f_y f_z + f f_{z,y}\bigr) - \bigl(f_z f_y + f f_{y,z}\bigr).
Os termos f_y f_z e -f_z f_y se cancelam, sobrando
(\nabla\times(f\nabla f))_x = f\bigl(f_{z,y}-f_{y,z}\bigr).

Passo 6

Calcular as outras componentes de forma análoga.
Usando a mesma expansão por produto, obtém-se
(\nabla\times(f\nabla f))_y = f\bigl(f_{x,z}-f_{z,x}\bigr),
(\nabla\times(f\nabla f))_z = f\bigl(f_{y,x}-f_{x,y}\bigr).
Portanto, de forma compacta,
\nabla\times(f\nabla f)=f\bigl(\,(\nabla\times\nabla f)\,\bigr) = f\bigl(f_{z,y}-f_{y,z},\;f_{x,z}-f_{z,x},\;f_{y,x}-f_{x,y}\bigr).

Passo 7

Usar a igualdade das derivadas parciais mistas.
Se f possui derivadas parciais segundas contínuas (por exemplo f\in C^2), vale o teorema de Clairaut: as derivadas mistas são iguais, isto é
f_{y,z}=f_{z,y},\qquad f_{x,z}=f_{z,x},\qquad f_{x,y}=f_{y,x}.
Assim, cada diferença entre derivadas mistas nas componentes do rotacional é zero.

Passo 8

Concluir que o rotacional é o vetor nulo.
Pela igualdade dos mistas, todas as componentes encontradas no Passo 6 são nulas, logo
\nabla\times(f\nabla f)=\mathbf{0}.
Comentário curto: alternativamente, podia-se usar a identidade vetorial \nabla\times(\varphi\mathbf{A})=\nabla\varphi\times\mathbf{A}+\varphi\,\nabla\times\mathbf{A} com \varphi=f e \mathbf{A}=\nabla f; aí \nabla f\times\nabla f=\mathbf{0} (produto vetorial de um vetor por si mesmo) e \nabla\times\nabla f=\mathbf{0} (rotacional de um gradiente), obtendo-se o mesmo resultado.

Resposta

\mathbf{0}

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