Prove que
, onde
é um campo escalar diferenciável.
Passo 1
O enunciado pede para provar que
, onde
é um campo escalar diferenciável.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é uma função escalar de variáveis (isto é, ). - Deseja-se mostrar que o rotacional (curl) do campo vetorial
é o vetor nulo.
Passo 2
Definição e notação do gradiente.
O gradiente de é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
:
O gradiente de
onde
Intuição rápida: aponta na direção de maior crescimento de
e suas componentes são as taxas de variação de
nas direções
.
Intuição rápida:
Passo 3
Definição do rotacional (curl).
Para um campo vetorial , o rotacional é definido pelas componentes:
Para um campo vetorial
onde, por exemplo,
.
Intuição: o rotacional mede a tendência de rotação local do campo.
Intuição: o rotacional mede a tendência de rotação local do campo.
Passo 4
Escrever explicitamente o campo
.
Temos
Temos
Vou calcular o rotacional componente a componente usando a definição dada no Passo 3 e a regra do produto para derivadas parciais:
Passo 5
Calcular a primeira componente do rotacional.
Pela definição,
Pela definição,
Substituindo as expansões do Passo 4:
Os termos
e
se cancelam, sobrando
Passo 6
Calcular as outras componentes de forma análoga.
Usando a mesma expansão por produto, obtém-se
Usando a mesma expansão por produto, obtém-se
Portanto, de forma compacta,
Passo 7
Usar a igualdade das derivadas parciais mistas.
Se possui derivadas parciais segundas contínuas (por exemplo
), vale o teorema de Clairaut: as derivadas mistas são iguais, isto é
Se
Assim, cada diferença entre derivadas mistas nas componentes do rotacional é zero.
Passo 8
Concluir que o rotacional é o vetor nulo.
Pela igualdade dos mistas, todas as componentes encontradas no Passo 6 são nulas, logo
Pela igualdade dos mistas, todas as componentes encontradas no Passo 6 são nulas, logo
Comentário curto: alternativamente, podia-se usar a identidade vetorial
com
e
; aí
(produto vetorial de um vetor por si mesmo) e
(rotacional de um gradiente), obtendo-se o mesmo resultado.