Calcule o Rotacional e o divergente do campo vetorial abaixo. Diga se é conservativo:
F(x, y, z)=(2 x y, x^2+2 y z, y^2)

Passo 1

Temos o campo vetorial é conservativo. Precisamos das definições de divergente e rotacional em F(x,y,z) = (2xy,;x^2 + 2yz,;y^2) O objetivo é calcular o diver>=nte, o rotacional e decidir se (vec F.

Passo 2

Definição e cálculo do divergente. O divergente de F é dado por nablacdotF = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z. Calculando cada termo:
partial (2xy)partial x = 2y, partial (x^2 + 2yz)partial y = 2z, partial (y^2)partial z = 0
Logo,
nablacdotF = 2y + 2z

Passo 3

Definição e cálculo do rotacional. O rotacional é nabla times F dado pelo determinante:
nabla times F = ex & ey & ez partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z Fx & Fy & Fz
Calculamos os componentes:
(nabla times F)x = partial Fzpartial y - partial Fypartial z = 2y - 2y = 0,
(nabla times F)y = partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = 0 - 0 = 0,
(nabla times F)z = partial Fypartial x - partial Fxpartial y = 2x - 2x = 0
Assim,
nabla times F = (0,0,0)

Passo 4

Verificação de conservatividade. Em R^3, um campo vetorial de classe C^1 é conservativo se e somente se seu rotacional for zero em todo o domínio, que aqui é simplesmente conexo. Como nabla times F = (0,0,0) em R^3, concluímos que F é conservativo.

Resposta

Rotacional: nabla times F = (0,0,0)
Divergente: nabla cdot F = 2y + 2z
O campo é conservativo.

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