Calcule o Rotacional e o divergente do campo vetorial abaixo. Diga se é conservativo:
Passo 1
Temos o campo vetorial é conservativo. Precisamos das definições de divergente e rotacional em .
Passo 2
Definição e cálculo do divergente. O divergente de é dado por . Calculando cada termo:
Logo,
Passo 3
Definição e cálculo do rotacional. O rotacional é dado pelo determinante:
Calculamos os componentes: (nabla times F)x = partial Fzpartial y - partial Fypartial z = 2y - 2y = 0,
(nabla times F)y = partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = 0 - 0 = 0,
(nabla times F)z = partial Fypartial x - partial Fxpartial y = 2x - 2x = 0
Assim, nabla times F = (0,0,0)
Passo 4
Verificação de conservatividade. Em R^3, um campo vetorial de classe C^1 é conservativo se e somente se seu rotacional for zero em todo o domínio, que aqui é simplesmente conexo. Como nabla times F = (0,0,0) em R^3, concluímos que F é conservativo.
Resposta
Rotacional: nabla times F = (0,0,0)
Divergente: nabla cdot F = 2y + 2z
O campo é conservativo.