Calcule o Rotacional e o divergente do campo vetorial abaixo. Diga se é conservativo:
F(x, y, z)=(3 y^2 z^3, 9 x^2 y z^2,-4 x y^2)

Passo 1

O enunciado pede para achar o divergente e o rotacional (curl) de vec F(x,y,z)=(3y^2z^3,;9x^2yz^2,;-4xy^2) e decidir se o campo é conservativo. Vamos usar derivadas parciais e as fórmulas padrão de cálculo vetorial.

Passo 2

Para o divergente usamos nablacdotvec F=partial F1partial x+partial F2partial y+partial F3partial z. Calculando:
partial F1partial x=partial (3y^2z^3)partial x=0, partial F2partial y=partial (9x^2yz^2)partial y=9x^2z^2, partial F3partial z=partial(-4xy^2)partial z=0,
Portanto
nablacdotvec F=0+9x^2z^2+0=9x^2z^2

Passo 3

Para o rotacional usamos nablatimesvec F=(partialyF3-partialzF2,;partialzF1-partialxF3,;partialxF2-partialyF1). Calculando cada componente:
partial F3partial y=partial(-4xy^2)partial y=-8xy, partial F2partial z=partial(9x^2yz^2)partial z=18x^2yz,
partial F1partial z=partial(3y^2z^3)partial z=9y^2z^2, partial F3partial x=partial(-4xy^2)partial x=-4y^2,
partial F2partial x=partial(9x^2yz^2)partial x=18xyz^2, partial F1partial y=partial(3y^2z^3)partial y=6yz^3
Daí
nablatimesvec F=( -8xy-18x^2yz,;9y^2z^2+4y^2,;18xyz^2-6yz^3 )

Passo 4

Como o rotacional não é o vetor nulo em geral, o campo não é conservativo. Conservatividade exigiria nablatimesvec F=0 em um domínio simplesmente conexo.

Resposta

Divergente: 9x^2z^2.
Rotacional: ( -8xy-18x^2yz,;9y^2z^2+4y^2,;18xyz^2-6yz^3 ).
O campo não é conservativo.

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