Calcule o Rotacional e o divergente do campo vetorial abaixo. Diga se é conservativo:
F(x, y, z)=(x^2 z, x y^2, z^2)

Passo 1

Resumo do enunciado e do conteúdo: temos o campo vetorial vec F(x,y,z)=(x^2z,,xy^2,,z^2). A gente vai usar derivadas parciais para calcular o divergente ( nablacdotvec F) e o rotacional ( nablatimesvec F), e depois checar a condição de campo conservativo em R^3.

Passo 2

Cálculo do divergente: aplicamos a definição nablacdotvec F=partial F1partial x+partial F2partial y+partial F3partial z. Assim,
nablacdotvec F=partialpartial x(x^2z)+partialpartial y(xy^2)+partialpartial z(z^2)=2xz+2xy+2z

Passo 3

Cálculo do rotacional: usamos nablatimesvec F=(partialyF3-partialzF2,,partialzF1-partialxF3,,partialxF2-partialyF1). Calculando cada componente:
partialyF3-partialzF2=0-0=0,
partialzF1-partialxF3=x^2-0=x^2,
partialxF2-partialyF1=y^2-0=y^2

Passo 4

Logo,
nablatimesvec F=(0,,x^2,,y^2)

Passo 5

Verificação de conservatividade: em R^3 simplesmente conexo, um campo é conservativo se e só se nablatimesvec F=vec0. Aqui o rotacional não é zero, então vec F não é conservativo.

Resposta

Divergente: 2xz+2xy+2z. Rotacional: (0,,x^2,,y^2). O campo não é conservativo.

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