Calcule o Rotacional e o divergente do campo vetorial abaixo. Diga se é conservativo:
F(x, y, z)=(y z, x z, x y)

Passo 1

O exercício pede para calcular o rotacional e o divergente do campo vetorial vec F(x,y,z)=(yz,,xz,,xy) e decidir se ele é conservativo. O conteúdo é cálculo de operadores vetoriais: divergente e rotacional, usando derivadas parciais e o operador nabla.

Passo 2

Vamos calcular primeiro o divergente, que é definido por:
nablacdotvec F=partial Ppartial x+partial Qpartial y+partial Rpartial z,
onde P=yz, Q=xz e R=xy.
Calculando cada termo:
nablacdotvec F=0+0+0=0


Somando, obtemos .

Passo 3

Agora calculamos o rotacional, definido por:
nablatimesvec F= partial Rpartial y-partial Qpartial z, partial Ppartial z-partial Rpartial x, partial Qpartial x-partial Ppartial y
Usando P=yz, Q=xz, R=xy:
partial Rpartial y=x, partial Qpartial z=x → primeiro componente: x-x=0.
partial Ppartial z=y, partial Rpartial x=y → segundo componente: y-y=0.
partial Qpartial x=z, partial Ppartial y=z → terceiro componente: z-z=0.
Logo, nablatimesvec F=(0,0,0).

Passo 4

Para verificar se o campo é conservativo, lembramos que em domínios simplesmente conexos (como R^3), um campo é conservativo se e somente se o seu rotacional for nulo. Como aqui nablatimesvec F=(0,0,0), concluímos que o campo é conservativo.

Resposta

Divergente: 0
Rotacional: (0,0,0)
O campo é conservativo.

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