Prove via varepsilon s e de s que:
Dados a, b in R, a função afim f(x)=a x+b é uma função contínua (em todos os pontos de seu domínio);

Passo 1

Primeiro, vamos entender qual é o problema. A gente precisa provar, usando os jeitinhos de varepsilon e de, que uma função afim da forma f(x) = a x + b, onde a e b são números reais, é contínua em todos os pontos do seu domínio. Isso significa que, para qualquer ponto que a gente escolha, a função não faz “saltos” ou “quebras”.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa uma função ser contínua usando varepsilon e de. Basicamente, para qualquer varepsilon > 0 que a gente escolher (que representa o quão perto a gente quer chegar do valor de f(x)), tem que existir um de 0 tal que, se x estiver dentro de uma distância de de algum ponto x0, então f(x) estará dentro de uma distância varepsilon de f(x0). Ou seja:
Para todo varepsilon > 0, existe de 0 tal que se |x - x0| < deã

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função f(x) = a x + b. Primeiro, calculamos a diferença |f(x) - f(x0)|:
|f(x) - f(x0)| = |a x + b - (a x0 + b)| = |a (x - x0)| = |a| cdot |x - x0|
Então, queremos que:
|a| cdot |x - x0| < varepsilon

Passo 4

Agora, a gente precisa encontrar um de que faça essa desigualdade valer. Vamos isolar |x - x0|:
|x - x0| < varepsilon|a|
Então, se a gente escolher:
de
garantimos que sempre que |x - x0| < de, teremos |f(x) - f(x0)| < varepsilon.

Resposta

Portanto, para qualquer varepsilon > 0, podemos escolher de, o que prova que a função f(x) = a x + b é contínua em todos os pontos do seu domínio.

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