Calcule o Rotacional e o divergente do campo vetorial abaixo. Diga se é conservativo:
F(x, y, z)=(y z e^x z, e^x z, x y e^x z)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional e o divergente do campo vetorial vec F(x,y,z)=(y z e^x z,, e^x z,, x y e^x z) e decidir se ele é conservativo. Esse assunto faz parte de Operadores Vetoriais em Cálculo Vetorial: usamos as definições de divergente ( nablacdotvec F) e de rotacional ( nablatimesvec F), além do critério de que um campo com rotacional nulo em domínio simplesmente conexo é conservativo.

Passo 2

Primeiro calculamos a divergente, que é a soma das derivadas parciais de cada componente:
nablacdotvec F=partialpartial x(y z e^x z)+partialpartial y(e^x z)+partialpartial z(x y e^x z)
Vamos a cada termo:
  1. partialpartial x(y z e^x z)=y zcdot z e^x z=y z^2 e^x z
  2. partialpartial y(e^x z)=0 (não depende de y).
  3. partialpartial z(x y e^x z)=x ycdot x e^x z=x^2 y e^x z
    Somando, obtemos
nablacdotvec F=y z^2 e^x z+0+x^2 y e^x z=y e^x z(z^2+x^2)

Passo 3

Agora o rotacional, dado por
nablatimesvec F=l(partial Fzpartial y-partial Fypartial z,,partial Fxpartial z-partial Fzpartial x,,partial Fypartial x-partial Fxpartial yr)
Cada componente:
  • partial Fzpartial y=partialpartial y(x y e^x z)=x e^x z,partial Fypartial z=partialpartial z(e^x z)=x e^x z, logo a primeira componente é zero.
  • partial Fxpartial z=partialpartial z(y z e^x z)=y e^x z+y z x e^x z,
    partial Fzpartial x=partialpartial x(x y e^x z)=y e^x z+x y z e^x z, logo a segunda componente também dá zero.
  • partial Fypartial x=partialpartial x(e^x z)=z e^x z,partial Fxpartial y=partialpartial y(y z e^x z)=z e^x z, e a terceira componente é zero.

Passo 4

Como o rotacional é o vetor nulo em todo R^3, que é um domínio simplesmente conexo, concluímos que vec F é conservativo (campo irrotacional em domínio sem “buraco”).

Resposta

nablacdotvec F=y e^x z(z^2+x^2), nablatimesvec F=vec0, e o campo é conservativo.

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