Calcule o Rotacional e o divergente do campo vetorial abaixo. Diga se é conservativo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o rotacional e o divergente do campo vetorial
e decidir se ele é conservativo. Esse assunto faz parte de Operadores Vetoriais em Cálculo Vetorial: usamos as definições de divergente (
) e de rotacional (
), além do critério de que um campo com rotacional nulo em domínio simplesmente conexo é conservativo.
Passo 2
Primeiro calculamos a divergente, que é a soma das derivadas parciais de cada componente:
Vamos a cada termo:
-
-
(não depende de ). -
Somando, obtemos
Passo 3
Agora o rotacional, dado por
Cada componente:
-
logo a primeira componente é zero. -
logo a segunda componente também dá zero. -
e a terceira componente é zero.
Passo 4
Como o rotacional é o vetor nulo em todo
, que é um domínio simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo (campo irrotacional em domínio sem “buraco”).