Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
, onde
é a curva da intersecção do plano
com o cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente calcular uma integral de linha usando o Teorema de Stokes. O enunciado é: calcular a integral de linha
, onde
é a curva formada pela intersecção do plano
com o cilindro
. Vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional do campo vetorial e fazer uma integração sobre a superfície limitada pela curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial
que está na integral de linha. Pelo enunciado, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional do campo vetorial
, que é
. O rotacional é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Então, o rotacional fica:
Passo 4
Vamos escolher uma superfície
limitada pela curva
. Uma boa escolha é a parte do plano
que está dentro do cilindro
. Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos da orientação correta da normal à superfície. O vetor normal ao plano é dado pelos coeficientes de
,
e
no equação do plano, ou seja:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha à integral de superfície do rotacional:
Substituindo o rotacional que encontramos:
Passo 6
Vamos agora expressar a área da superfície
em coordenadas polares, já que a região de integração é o interior do cilindro
. Em coordenadas polares, temos
e
, com
e
.
A expressão
em coordenadas polares fica:
E o elemento de área em coordenadas polares é
.
Passo 7
Vamos montar a integral dupla:
Simplificando:
Passo 8
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 9
Fatorando
:
Usando identidades trigonométricas:
Então:
Passo 10
Calculando a integral:
Então:
Resposta
A integral de linha vale
.