Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha ointc x^2 z d x+x y^2 d y+z^2 d z, onde c é a curva da intersecção do plano 3 x+2 y+z=6 com o cilindro x^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente calcular uma integral de linha usando o Teorema de Stokes. O enunciado é: calcular a integral de linha ointc x^2 z , dx + x y^2 , dy + z^2 , dz, onde c é a curva formada pela intersecção do plano 3x + 2y + z = 6 com o cilindro x^2 + y^2 = 1. Vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional do campo vetorial e fazer uma integração sobre a superfície limitada pela curva c.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial F que está na integral de linha. Pelo enunciado, temos:
F = ( x^2 z, , x y^2, , z^2 )

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional do campo vetorial F, que é nabla times F. O rotacional é dado por:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, , partial F1partial z - partial F3partial x, , partial F2partial x - partial F1partial y )
Vamos calcular cada componente:
partial F3partial y = partial z^2partial y = 0
partial F2partial z = partial (x y^2)partial z = 0
partial F1partial z = partial (x^2 z)partial z = x^2
partial F3partial x = partial z^2partial x = 0
partial F2partial x = partial (x y^2)partial x = y^2
partial F1partial y = partial (x^2 z)partial y = 0
Então, o rotacional fica:
nabla times F = ( 0 - 0, , x^2 - 0, , y^2 - 0 ) = ( 0, , x^2, , y^2 )

Passo 4

Vamos escolher uma superfície S limitada pela curva c. Uma boa escolha é a parte do plano 3x + 2y + z = 6 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1. Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos da orientação correta da normal à superfície. O vetor normal ao plano é dado pelos coeficientes de x, y e z no equação do plano, ou seja:
n = (3, 2, 1)

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha à integral de superfície do rotacional:
ointc F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Substituindo o rotacional que encontramos:
integral duplaS (0, , x^2, , y^2) cdot (3, 2, 1) , dS = integral duplaS (0 cdot 3 + x^2 cdot 2 + y^2 cdot 1) , dS = integral duplaS (2x^2 + y^2) , dS

Passo 6

Vamos agora expressar a área da superfície S em coordenadas polares, já que a região de integração é o interior do cilindro x^2 + y^2 = 1. Em coordenadas polares, temos x = rcostheta e y = rsintheta, com r in [0, 1] e theta in [0, 2pi].
A expressão 2x^2 + y^2 em coordenadas polares fica:
2x^2 + y^2 = 2(rcostheta)^2 + (rsintheta)^2 = 2r^2cos^2theta + r^2sin^2theta
E o elemento de área em coordenadas polares é r , dr , dtheta.

Passo 7

Vamos montar a integral dupla:
integral duplaS (2x^2 + y^2) , dS = integral0^2pi integral0^1 (2r^2cos^2theta + r^2sin^2theta) r , dr , dtheta
Simplificando:
= integral0^2pi integral0^1 (2r^3cos^2theta + r^3sin^2theta) , dr , dtheta

Passo 8

Vamos integrar em relação a r primeiro:
integral0^1 2r^3cos^2theta , dr = 2cos^2theta cdot [r^44]0^1 = 2cos^2theta cdot 14 = 12cos^2theta
integral0^1 r^3sin^2theta , dr = sin^2theta cdot [r^44]0^1 = sin^2theta cdot 14 = 14sin^2theta
Então, a integral fica:
integral0^2pi ( 12cos^2theta + 14sin^2theta ) dtheta

Passo 9

Fatorando 1/4:
= 14 integral0^2pi ( 2cos^2theta + sin^2theta ) dtheta
Usando identidades trigonométricas:
2cos^2theta + sin^2theta = 1 + cos^2theta
Então:
= 14 integral0^2pi (1 + cos^2theta ) dtheta

Passo 10

Calculando a integral:
integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi
integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi (usando a identidade cos^2theta = 1 + cos 2theta2)
Então:
14 (2pi + pi) = 14 cdot 3pi = 3pi4

Resposta

A integral de linha vale 3pi4.

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