Calcule o Rotacional e o divergente do campo vetorial abaixo. Diga se é conservativo:
F(x, y, z)=(2 x-y z, 2 y-x z, 2 z-x y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional e o divergente do campo vetorial F(x,y,z)=(2x-yz,;2y-xz,;2z-xy) e decidir se é conservativo. Isso envolve derivadas parciais para obter nablacdotF e nablatimesF.

Passo 2

Para o divergente, usamos a definição nablacdotF=partial Fxpartial x+partial Fypartial y+partial Fzpartial z. Calculando: partialpartial x(2x-yz)=2, partialpartial y(2y-xz)=2 e partialpartial z(2z-xy)=2. Então, nablacdotF=2+2+2=6.

Passo 3

Para o rotacional, usamos nablatimesF=(partialyFz-partialzFy,;partialzFx-partialxFz,;partialxFy-partialyFx). Calculando cada termo:
partialyFz=partialy(2z-xy)=-x, partialzFy=partialz(2y-xz)=-x → primeira componente: -x-(-x)=0;
partialzFx=partialz(2x-yz)=-y, partialxFz=partialx(2z-xy)=-y → segunda componente: -y-(-y)=0;
partialxFy=partialx(2y-xz)=-z, partialyFx=partialy(2x-yz)=-z → terceira componente: -z-(-z)=0. Logo, nablatimesF=(0,0,0).

Passo 4

Como o rotacional é nulo em R^3 (um domínio simplesmente conexo), concluímos que o campo é conservativo.

Resposta

nablatimesF=(0,0,0), nablacdotF=6, e o campo é conservativo.

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