Calcule o Rotacional e o divergente do campo vetorial abaixo. Diga se é conservativo:
Passo 1
A gente tem o campo vetorial
. O objetivo é calcular o rotacional
, o divergente
e verificar se o campo é conservativo. Vamos usar as definições de rotacional e divergente em
e lembrar que, num domínio simplesmente conexo, um campo é conservativo se e somente se seu rotacional for o vetor zero.
Passo 2
Para calcular o rotacional, usamos a definição
onde
,
e
. Calculando cada derivada:
,
,
,
,
,
. Substituindo, obtemos
Passo 3
O divergente é dado por
Aqui
,
e
. Logo,
Passo 4
Num domínio simplesmente conexo como
, um campo vetorial é conservativo se e somente se
. Aqui temos
, que não é o vetor nulo para valores gerais de
. Portanto, o campo não é conservativo.
Resposta
O rotacional é
, o divergente é
e o campo não é conservativo.