Calcule o Rotacional e o divergente do campo vetorial abaixo. Diga se é conservativo:
F(x, y, z)=(x y, y z, x z)

Passo 1

A gente tem o campo vetorial F(x,y,z)=(xy,yz,xz). O objetivo é calcular o rotacional nablatimesF, o divergente nablacdotF e verificar se o campo é conservativo. Vamos usar as definições de rotacional e divergente em R^3 e lembrar que, num domínio simplesmente conexo, um campo é conservativo se e somente se seu rotacional for o vetor zero.

Passo 2

Para calcular o rotacional, usamos a definição
nablatimesF= l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,;partial Ppartial z-partial Rpartial x,;partial Qpartial x-partial Ppartial yr),
onde P=xy, Q=yz e R=xz. Calculando cada derivada:
partial Rpartial y=0, partial Qpartial z=y, partial Ppartial z=0, partial Rpartial x=z, partial Qpartial x=0, partial Ppartial y=x. Substituindo, obtemos
nablatimesF=(0-y,;0-z,;0-x)=(-y,-z,-x)

Passo 3

O divergente é dado por
nablacdotF=partial Ppartial x+partial Qpartial y+partial Rpartial z
Aqui partial (xy)partial x=y, partial (yz)partial y=z e partial (xz)partial z=x. Logo,
nablacdotF=y+z+x=x+y+z

Passo 4

Num domínio simplesmente conexo como R^3, um campo vetorial é conservativo se e somente se nablatimesF=(0,0,0). Aqui temos nablatimesF=(-y,-z,-x), que não é o vetor nulo para valores gerais de x,y,z. Portanto, o campo não é conservativo.

Resposta

O rotacional é nablatimesF=(-y,-z,-x), o divergente é nablacdotF=x+y+z e o campo não é conservativo.

Exercícios relacionados