Calcule o Rotacional e o divergente do campo vetorial abaixo. Diga se é conservativo:
F(x, y, z)=(x-2 z, x+y+z, x-2 y)

Passo 1

A gente tem o campo vetorial vec F(x,y,z)=(x-2z,,x+y+z,,x-2y). O que o enunciado pede é calcular o divergente e o rotacional (curl) desse campo e ver se ele é conservativo. Isso faz parte de cálculo vetorial, e vamos usar as definições de divergente, rotacional e a condição de conservatividade em domínios simplesmente conexos.

Passo 2

Para achar o divergente, usamos a definição
nabla cdot vec F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z, onde P=x-2z, Q=x+y+z e R=x-2y. Calculando cada derivada parcial temos:
- partial P/partial x = 1
- partial Q/partial y = 1
- partial R/partial z = 0
Somando, fica 1+1+0=2, logo nabla cdot vec F = 2.

Passo 3

Para achar o rotacional, usamos a definição
nabla times vec F = l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,;partial Ppartial z-partial Rpartial x,;partial Qpartial x-partial Ppartial yr) Substituindo P,Q,R:
- Componente x: partial R/partial y = -2, partial Q/partial z = 1 -2-1=-3.
- Componente y: partial P/partial z = -2, partial R/partial x = 1 -2-1=-3.
- Componente z: partial Q/partial x = 1, partial P/partial y = 0 1-0=1.
Então nabla times vec F = lang<= -3,-3,1rang<=.

Passo 4

Um campo em R^3 é conservativo se e só se nabla times vec F=vec 0 num domínio simplesmente conexo. Aqui o rotacional não é zero, então o campo não é conservativo.

Resposta

O divergente é nablacdotvec F=2, o rotacional é nablatimesvec F=lang<= -3,-3,1rang<= e o campo não é conservativo.

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