Calcule a integral de superfície integralS integral F cdot d S, onde F(x, y, z)=(x y, y z, x z) e S é a superfície do parabolóide z=4-x^2-y^2 que está no primeiro octante. Calcule também a área de S.

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular o fluxo da campo vetorial vec F(x,y,z)=(xy,,yz,,xz) através da superfície S do parabolóide z=4-x^2-y^2 no primeiro octante, e também a área dessa mesma superfície. Vamos precisar usar duas fórmulas: para fluxo de vec F numa superfície dada como gráfico z=f(x,y), e para a área de gráfico.

Passo 2

Como S é o gráfico z=f(x,y)=4-x^2-y^2, o elemento de superfície orientado pra cima é dado por
dvec S = (-fx,,-fy,,1),dA = (2x,,2y,,1),dA
Então o fluxo é
integral duplaS vec Fcdot dvec S = integral duplaD l(xy,,yz,,xzr)cdot(2x,2y,1),dA = integral duplaD l(2x^2y + 2y^2z + xzr),dA,
onde D é a projeção de S no plano xy: 0<= x,y, x^2+y^2<= 4.

Passo 3

Substituindo z=4-x^2-y^2 e trocando pra coordenadas polares x=rcostheta,,y=rsintheta em 0<= r<=2,,0<=theta<=pi/2, obtemos o integrando
2r^3cos^2thetasintheta + 8r^2sin^2theta -2r^4sin^2theta + 4rcostheta - r^3costheta,
que vezes o jacobiano r vira
2r^4cos^2thetasintheta + 8r^3sin^2theta -2r^5sin^2theta + 4r^2costheta - r^4costheta
Aí separamos em cinco integrais em r e theta, calculamos os integrais em theta
r
12815 + 8pi3

fazemos as integrais em e somamos. O resultado final do fluxo é

Passo 4

Para a área usamos a fórmula de gráfico
Área(S)=integral duplaD raiz1+fx^2+fy^2,dA =integral duplaD raiz1+4x^2+4y^2,dA Á
Em polares isso vira
integral0^pi/2!integral0^2 raiz1+4r^2,r,dr,dtheta =pi2integral0^2 rraiz1+4r^2,dr
Fazendo u=1+4r^2 leva a
pi2cdot112l(17^3/2-1r) =pi24l(17raiz17-1r)

Resposta

Fluxo = 12815 + 8pi3, área de S = pi24l(17raiz17-1r).

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