Calcule a integral de superfície
, onde
e
é a superfície do parabolóide
que está no primeiro octante. Calcule também a área de
.
Passo 1
O enunciado pede pra gente calcular o fluxo da campo vetorial
através da superfície
do parabolóide
no primeiro octante, e também a área dessa mesma superfície. Vamos precisar usar duas fórmulas: para fluxo de
numa superfície dada como gráfico
, e para a área de gráfico.
Passo 2
Como
é o gráfico
, o elemento de superfície orientado pra cima é dado por
Então o fluxo é
onde
é a projeção de
no plano
:
,
.
Passo 3
Substituindo
e trocando pra coordenadas polares
em
, obtemos o integrando
que vezes o jacobiano
vira
Aí separamos em cinco integrais em
e
, calculamos os integrais em
fazemos as integrais em e somamos. O resultado final do fluxo é
fazemos as integrais em
Passo 4
Para a área usamos a fórmula de gráfico
Em polares isso vira
Fazendo
leva a
Resposta
Fluxo =
, área de S =
.