Calcule o Rotacional e o divergente do campo vetorial abaixo. Diga se é conservativo:
F(x, y, z)=(e^x, e^z, e^y)

Passo 1

O exercício pede para calcular o divergente e o rotacional do campo vetorial vec F(x,y,z)=(e^x,,e^z,,e^y) e decidir se ele é conservativo. Vamos aplicar as definições de divergente e rotacional em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Para calcular o divergente, usamos nablacdotvec F=partial F1partial x+partial F2partial y+partial F3partial z. Como F1=e^x, F2=e^z e F3=e^y, temos:
nablacdotvec F=partialpartial xe^x+partialpartial ye^z+partialpartial ze^y=e^x+0+0=e^x

Passo 3

Para calcular o rotacional, usamos nablatimesvec F=(,partial F3partial y-partial F2partial z,,partial F1partial z-partial F3partial x,,partial F2partial x-partial F1partial y,) Calculando cada termo:
partial F3partial y=partialpartial ye^y=e^y,partial F2partial z=partialpartial ze^z=e^z,
partial F1partial z=0,partial F3partial x=0,partial F2partial x=0,partial F1partial y=0
Logo,
nablatimesvec F=(e^y-e^z,,0,,0)

Passo 4

Um campo vetorial num domínio simplesmente conexo é conservativo se e só se nablatimesvec F=vec 0. Aqui o rotacional não é o vetor nulo (pois e^y-e^zneq0 em geral), então o campo não é conservativo.

Resposta

Divergente: e^x
Rotacional: (e^y-e^z,,0,,0)
O campo não é conservativo.

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