Calcule o Rotacional e o divergente do campo vetorial abaixo. Diga se é conservativo:
Passo 1
O exercício pede para calcular o divergente e o rotacional do campo vetorial
e decidir se ele é conservativo. Vamos aplicar as definições de divergente e rotacional em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Para calcular o divergente, usamos
. Como
,
e
, temos:
Passo 3
Para calcular o rotacional, usamos
Calculando cada termo:
Logo,
Passo 4
Um campo vetorial num domínio simplesmente conexo é conservativo se e só se
. Aqui o rotacional não é o vetor nulo (pois
em geral), então o campo não é conservativo.
Resposta
Divergente:
Rotacional:
O campo não é conservativo.
Rotacional:
O campo não é conservativo.