Calcule o rotacional e divergente do campo vetorial:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o rotacional e o divergente de um campo vetorial. O campo que temos é:
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as definições de rotacional e divergente. Vamos precisar lembrar das fórmulas dessas operações e aplicar derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial. No caso de um campo bidimensional
, o rotacional é dado por:
Então, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Passo 3
Vamos identificar
e
:
Agora, calculemos as derivadas:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do rotacional:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o divergente do campo vetorial. Para um campo bidimensional
, o divergente é dado por:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 6
Calculando as derivadas:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 7
Substituindo na fórmula do divergente:
Resposta
O rotacional do campo vetorial
é:
E o divergente é: