Calcule o rotacional e divergente do campo vetorial:
F(x, y)=(x y,-x^2 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o rotacional e o divergente de um campo vetorial. O campo que temos é:
F(x, y) = (x y, -x^2 y)
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as definições de rotacional e divergente. Vamos precisar lembrar das fórmulas dessas operações e aplicar derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial. No caso de um campo bidimensional rot , F = partial Qpartial x - partial Ppartial y , o rotacional é dado por:
Então, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 3

Vamos identificar P = x y Q = -x^2 y e partial Qpartial x = partialpartial x (-x^2 y) = -2x y :
partial Ppartial y = partialpartial y (x y) = x
Agora, calculemos as derivadas:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do rotacional:
rot , F = (-2x y) - (x) = -2x y - x = -x (2y + 1)

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o divergente do campo vetorial. Para um campo bidimensional div , F = partial Ppartial x + partial Qpartial y , o divergente é dado por:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 6

Calculando as derivadas:
  1. Derivada de partial Ppartial x = partialpartial x (x y) = y em relação a partial Qpartial y = partialpartial y (-x^2 y) = -x^2 :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 7

Substituindo na fórmula do divergente:
div , F = y + (-x^2) = y - x^2

Resposta

O rotacional do campo vetorial rot , F = -x (2y + 1) é:
div , F = y - x^2
E o divergente é:

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