Determine se a sequência
é crescente, decrescente ou não monotônica. A sequência é limitada? ( 2,0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a sequência
e precisamos descobrir duas coisas:
- Monotonicidade: Se a sequência é crescente, decrescente ou não monotônica.
- Limitação: Se essa sequência é limitada.
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de sequências numéricas, monotonicidade e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a sequência é crescente ou decrescente. Para isso, vamos analisar como os termos da sequência se comportam conforme
aumenta.
Uma sequência é crescente se cada termo seguinte for maior que o anterior, ou seja,
para todo
.
Vamos calcular a diferença entre dois termos consecutivos:
Passo 3
Simplificando a expressão:
Observamos que
é sempre positivo para todo
, então:
Isso mostra que
para todo
, ou seja, a sequência é crescente.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que seja maior ou igual a todos os termos (limite superior) e um número que seja menor ou igual a todos os termos (limite inferior).
Vamos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito:
Isso significa que conforme
aumenta, os termos da sequência se aproximam de 1, mas nunca o excedem.
Além disso, para todo
, temos:
Portanto, a sequência é limitada entre 0 e 1.
Resposta
A sequência
é crescente e está limitada.