Determine se a sequência an=nn+1 é crescente, decrescente ou não monotônica. A sequência é limitada? ( 2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a sequência e precisamos descobrir duas coisas:
  1. Monotonicidade: Se a sequência é crescente, decrescente ou não monotônica.
  2. Limitação: Se essa sequência é limitada.
Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de sequências numéricas, monotonicidade e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a sequência é crescente ou decrescente. Para isso, vamos analisar como os termos da sequência se comportam conforme an+1 - an = n+1n+2 - nn+1 aumenta.
Uma sequência é crescente se cada termo seguinte for maior que o anterior, ou seja, para todo .
Vamos calcular a diferença entre dois termos consecutivos:

Passo 3

Simplificando a expressão:
an+1 - an = (n+1)(n+1) - n(n+2)(n+2)(n+1) = n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n(n+2)(n+1) = 1(n+2)(n+1)
Observamos que an+1 - an = 1(n+2)(n+1) > 0 é sempre positivo para todo , então:
Isso mostra que para todo , ou seja, a sequência é crescente.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que seja maior ou igual a todos os termos (limite superior) e um número que seja menor ou igual a todos os termos (limite inferior).
Vamos calcular o limite da sequência quando limn to infty an = limn to infty nn+1 = 1 tende ao infinito:
0 < nn+1 < 1
Isso significa que conforme aumenta, os termos da sequência se aproximam de 1, mas nunca o excedem.
Além disso, para todo , temos:
Portanto, a sequência é limitada entre 0 e 1.

Resposta

A sequência é crescente e está limitada.

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