Estude e caracterize os pontos críticos de f restrita à região B dada:
f(x, y)=x^2+y^2+x^2 y+4, B=(x, y):|x| <= 1 e |y| <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para estudar e caracterizar os pontos críticos da função restrita à região .
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, mais especificamente o estudo de pontos críticos de funções de duas variáveis e análise em regiões delimitadas.
O que vamos precisar:
  • Conhecimentos sobre derivadas parciais.
  • Método para encontrar pontos críticos.
  • Análise de fronteiras de regiões restritas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos no interior da região fx = partial fpartial x = 2x + 2xy . Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de fy = partial fpartial y = 2y + x^2 em relação a 2x + 2xy = 0 Rightarrow 2x(1 + y) = 0 e 2y + x^2 = 0 Rightarrow x^2 = -2y e igualá-las a zero.
Derivadas Parciais:
x^2 = 0 Rightarrow -2y = 0 Rightarrow y = 0
Ponto crítico: (0, 0)
Encontrando os pontos onde x^2 = -2(-1) Rightarrow x^2 = 2 Rightarrow x = pm raiz2 e :
Da primeira equação, temos duas possibilidades:
  1. ou
Vamos analisar cada caso:
Caso 1:
í
Caso 2:
Mas, como na região , não estão dentro de . Portanto, não há pontos críticos neste caso dentro da região.

Passo 3

Agora, precisamos verificar os pontos críticos na fronteira da região f(1, y) = 1 + y^2 + y + 4 = y^2 + y + 5 . A fronteira é formada pelas linhas onde ddy f(1, y) = 2y + 1 = 0 Rightarrow y = -12 ou f(-1, y) = 1 + y^2 + y + 4 = y^2 + y + 5 .
Vamos analisar cada segmento da fronteira:
  1. Quando 2y + 1 = 0 Rightarrow y = -12 ou f(x, 1) = x^2 + 1 + x^2(1) + 4 = 2x^2 + 5
  2. Quando ddx f(x, 1) = 4x = 0 Rightarrow x = 0 ou f(x, -1) = x^2 + 1 + x^2(-1) + 4 = -x^2 + 5
Vamos analisar cada caso separadamente.
Caso 1: ddx f(x, -1) = -2x = 0 Rightarrow x = 0
Para encontrar os pontos críticos em , derivamos em relação a :
Verificamos se está dentro de . Está, então temos um ponto crítico em .
Caso 2:
Mesmo procedimento:
Então, outro ponto crítico em .
Caso 3:
Derivando em relação a :
Ponto crítico em .
Caso 4:
Derivando em relação a :
Ponto crítico em .

Passo 4

Agora que identificamos todos os pontos críticos dentro da região f(0, 0) = 0 + 0 + 0 + 4 = 4 e na sua fronteira, vamos caracterizá-los.
Para caracterizar, podemos analisar o valor da função nesses pontos:
  • Interior: f(1, -12) = 1 + (-12)^2 + 1 cdot (-12) + 4 = 1 + 14 - 12 + 4 = 54 + 4 = 214
f(-1, -12) = 1 + (-12)^2 + 1 cdot (-12) + 4 = 1 + 14 - 12 + 4 = 54 + 4 = 214
  • Fronteira: f(0, 1) = 0 + 1 + 0 + 4 = 5
f(0, -1) = 0 + 1 + 0 + 4 = 5
  • Fronteira:
  • Fronteira:
  • Fronteira:
Analisando os valores, percebemos que:
  • O mínimo ocorre no ponto interior com .
  • Os pontos na fronteira e têm e são máximos locais dentro da região .
  • Os pontos e têm e são pontos de sela ou outros tipos de pontos críticos, dependendo da análise mais aprofundada.

Resposta

Os pontos críticos da função restrita à região são:
  • Interior: com mínimo relativo.
  • Fronteira: e com máximos relativos.
  • Fronteira: e com valores de , que necessitam de análise adicional para caracterização completa.

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