Estude e caracterize os pontos críticos de
restrita à região
dada:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para estudar e caracterizar os pontos críticos da função
restrita à região
.
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, mais especificamente o estudo de pontos críticos de funções de duas variáveis e análise em regiões delimitadas.
O que vamos precisar:
- Conhecimentos sobre derivadas parciais.
- Método para encontrar pontos críticos.
- Análise de fronteiras de regiões restritas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos no interior da região
. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
Derivadas Parciais:
Encontrando os pontos onde
e
:
Da primeira equação, temos duas possibilidades:
-
-
ou
Vamos analisar cada caso:
Caso 1:
Caso 2:
Mas, como
na região
,
não estão dentro de
. Portanto, não há pontos críticos neste caso dentro da região.
Passo 3
Agora, precisamos verificar os pontos críticos na fronteira da região
. A fronteira é formada pelas linhas onde
ou
.
Vamos analisar cada segmento da fronteira:
- Quando
ou - Quando
ou
Vamos analisar cada caso separadamente.
Caso 1:
Para encontrar os pontos críticos em
, derivamos em relação a
:
Verificamos se
está dentro de
. Está, então temos um ponto crítico em
.
Caso 2:
Mesmo procedimento:
Então, outro ponto crítico em
.
Caso 3:
Derivando em relação a
:
Ponto crítico em
.
Caso 4:
Derivando em relação a
:
Ponto crítico em
.
Passo 4
Agora que identificamos todos os pontos críticos dentro da região
e na sua fronteira, vamos caracterizá-los.
Para caracterizar, podemos analisar o valor da função nesses pontos:
- Interior:
- Fronteira:
- Fronteira:
- Fronteira:
- Fronteira:
Analisando os valores, percebemos que:
- O mínimo ocorre no ponto interior
com . - Os pontos na fronteira
e têm e são máximos locais dentro da região . - Os pontos
e têm e são pontos de sela ou outros tipos de pontos críticos, dependendo da análise mais aprofundada.
Resposta
Os pontos críticos da função
restrita à região
são:
- Interior:
com mínimo relativo. - Fronteira:
e com máximos relativos. - Fronteira:
e com valores de , que necessitam de análise adicional para caracterização completa.