Em qual intervalo a função
é crescente?
(a)
(b)
©
(D)
(e) NRA
(a)
(b)
©
(D)
(e) NRA
Passo 1
O enunciado pede para determinar em qual intervalo a função f(x)=√[3]{x}·ln x é crescente; o conteúdo é estudo de monotonicidade usando derivada.
Passo 2
Calcular a derivada usando regra do produto: f(x)=x^{1/3}·ln x, então
f’(x)= (1/3)x^{-2/3}·ln x + x^{1/3}·(1/x) = x^{-2/3}·( (1/3)·ln x + 1 ).
f’(x)= (1/3)x^{-2/3}·ln x + x^{1/3}·(1/x) = x^{-2/3}·( (1/3)·ln x + 1 ).
Passo 3
Para f ser crescente, f’(x)>0 ⇒ x^{-2/3}·( (1/3)·ln x + 1 )>0. Como x^{-2/3}>0 para todo x>0, basta
(1/3)·ln x + 1 >0 ⇒ ln x >−3 ⇒ x > e^{−3}.
(1/3)·ln x + 1 >0 ⇒ ln x >−3 ⇒ x > e^{−3}.
Passo 4
Portanto f é crescente no intervalo (e^{−3}, +∞).
Resposta
(e^{-3},+\infty)