Em qual intervalo a função f(x)=raiz[3]x ln x é crescente?
(a) (0, e^-3)
(b) (0, e^-1 / 3)
© (e^-1 / 3,+infty)
(D) (e^-3,+infty)
(e) NRA

Passo 1

O enunciado pede para determinar em qual intervalo a função f(x)=√[3]{x}·ln x é crescente; o conteúdo é estudo de monotonicidade usando derivada.

Passo 2

Calcular a derivada usando regra do produto: f(x)=x^{1/3}·ln x, então
f’(x)= (1/3)x^{-2/3}·ln x + x^{1/3}·(1/x) = x^{-2/3}·( (1/3)·ln x + 1 ).

Passo 3

Para f ser crescente, f’(x)>0 ⇒ x^{-2/3}·( (1/3)·ln x + 1 )>0. Como x^{-2/3}>0 para todo x>0, basta
(1/3)·ln x + 1 >0 ⇒ ln x >−3 ⇒ x > e^{−3}.

Passo 4

Portanto f é crescente no intervalo (e^{−3}, +∞).

Resposta

(e^{-3},+\infty)

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