1. Calcule o rotacional e o divergente do campo vetorial.
    a) F(x, y, z)=x y z i-x^2 y k.
    b) F(x, y, z)=e^x sen(y) i-e^x cos (y) j+z k.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional (curl) e o divergente (div) de dois campos vetoriais em R^3. O conteúdo é cálculo vetorial, e vamos usar o operador nabla nabla com as definições de divergente e rotacional.

Passo 2

Recordando as fórmulas fundamentais:
nabla = l(partialpartial x,,partialpartial y,,partialpartial zr),
nablacdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z,
nablatimes F = i & j & k partialx & partialy & partialz Fx & Fy & Fz

Passo 3

Para Fa(x,y,z)=x,y,z,i-x^2y,k temos
Fx = x,y,z, Fy=0, Fz=-x^2y.
  1. Rotacional
nablatimes Fa = l(partialy Fz - partialz Fyr),i - l(partialx Fz - partialz Fxr),j + l(partialx Fy - partialy Fxr),k
Calculando cada termo:
partialy Fz = partialy(-x^2y) = -x^2, partialz Fy = 0,
partialx Fz = partialx(-x^2y) = -2xy, partialz Fx = partialz(xyz) = xy,
partialx Fy = 0, partialy Fx = partialy(xyz) = xz
Logo,
nablatimes Fa = l(-x^2 - 0r)i - l(-2xy - xyr)j + l(0 - xzr)k = -x^2,i + 3xy,j - xz,k
  1. Divergente
nablacdot Fa = partialx(xyz) + partialy(0) + partialz(-x^2y) = yz + 0 + 0 = yz

Passo 4

Para Fb(x,y,z)=e^xsin(y),i-e^xcos(y),j+z,k temos
Fx=e^xsin y, Fy=-e^xcos y, Fz=z.
  1. Rotacional
nablatimes Fb = l(partialy Fz - partialz Fyr),i - l(partialx Fz - partialz Fxr),j + l(partialx Fy - partialy Fxr),k
Como partialy(z)=0, partialz(-e^xcos y)=0, partialx(z)=0, partialz(e^xsin y)=0, ficamos só com o componente em k:
partialx Fy = partialx(-e^xcos y) = -e^xcos y, partialy Fx = partialy(e^xsin y) = e^xcos y,
nablatimes Fb = 0;i - 0;j + l(-e^xcos y - e^xcos yr),k = -2,e^xcos y,k
  1. Divergente
nablacdot Fb = partialx(e^xsin y) + partialy(-e^xcos y) + partialz(z) = e^xsin y + e^xsin y + 1 = 2,e^xsin y + 1

Resposta

a)
nablatimes Fa = -x^2,i + 3xy,j - xz,k, nablacdot Fa = yz
b)
nablatimes Fb = -2,e^xcos y,k, nablacdot Fb = 2,e^xsin y + 1

Exercícios relacionados