Resolva pelo método da variação dos parâmetros:
y^prime prime-8 y^prime+16 y=e^4 tt^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
y'' - 8y' + 16y = e^4tt^2
Usaremos o método da variação de parâmetros. Isso envolve primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois construir uma solução particular usando funções variáveis u1(t) e u2(t).

Passo 2

Encontramos a solução geral da homogênea
y'' - 8y' + 16y = 0
A equação característica é
r^2 - 8r + 16 = 0 ;Longrightarrow;(r-4)^2 = 0,
logo a raiz r=4 é dupla. Assim um conjunto fundamental de soluções é
y1(t) = e^4t, y2(t) = t,e^4t
e a solução homogênea é
yh(t) = C1e^4t + C2,t,e^4t

Passo 3

Pelas fórmulas de variação de parâmetros definimos
u1' y1 + u2' y2 = 0, u1' y1' + u2' y2' = g(t),
onde g(t)=e^4tt^2. Calculamos o Wronskiano
W = y1 & y2 y1' & y2' = e^4t & t e^4t 4 e^4t & (1+4t) e^4t = e^8tl(1+4t-4tr)=e^8t
As fórmulas padrão são
u1' = -g(t) y2W, u2' = g(t) y1W

Passo 4

Substituindo g(t), y1, y2 e W:
u1' = -e^4tt^2cdot t,e^4te^8t = -e^8t,tt^2e^8t=-1t, u2' = e^4tt^2cdot e^4te^8t = 1t^2
Integramos:
u1(t) = -integral1t,dt = -ln t, u2(t) = integral1t^2,dt = -1t

Passo 5

A solução particular fica
yp(t) = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t) = l(-ln tr)e^4t + l(-1tr)l(t,e^4tr) = -e^4tln t - e^4t
Portanto a solução geral da equação não homogênea é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e^4t + C2,t,e^4t - e^4tl(ln t + 1r)

Resposta

boxedy(t) = C1e^4t + C2,t,e^4t - e^4tl(ln t + 1r)

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