Calcule o rotacional e o divergente dos campos de vetores $\mathbf{A}=A_{x} \mathbf{i}+A_{y} \mathbf{j}$ .
$\mathbf{A}=-y \mathbf{i}+x \mathbf{j}$

O enunciado apresenta um campo de vetor em duas dimensões

\mathbf{A}(x,y) = -y\,\mathbf{i} + x\,\mathbf{j}

e pede o divergente e o rotacional. Para isso, usaremos as definições em coordenadas cartesianas de dimensão três, lembrando que aqui

A_z=0

A divergente de um campo

\mathbf{A}(x,y,z)=A_x\,\mathbf{i}+A_y\,\mathbf{j}+A_z\,\mathbf{k}

\div \mathbf{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}.

No nosso caso

A_x=-y

A_y=x

A_z=0

, logo

\frac{\partial A_x}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial A_y}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial A_z}{\partial z}=0

e portanto

\div \mathbf{A} = 0 + 0 + 0 = 0.

O rotacional de

\mathbf{A}

\rot \mathbf{A} = \nabla \times \mathbf{A} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}.

Como

A_z=0

, apenas o componente na direção

\mathbf{k}

pode ser não nulo:

(\rot \mathbf{A})_k = \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}.

Aqui

\partial A_y/\partial x = \partial(x)/\partial x = 1

\partial A_x/\partial y = \partial(-y)/\partial y = -1

, de modo que

(\rot \mathbf{A})_k = 1 - (-1) = 2,

enquanto os componentes em

\mathbf{i}

\mathbf{j}

são zero.

\displaystyle \div \mathbf{A} = 0 \displaystyle \rot \mathbf{A} = 2\,\mathbf{k}

Calcule o rotacional e o divergente dos campos de vetores \mathbf{A}=A_{x} \mathbf{i}+A_{y} \mathbf{j}. \mathbf{A}=-y \mathbf{i}+x \mathbf{j}