Calcule o gradiente das seguintes funções escalares:

$U=x^{2}+y^{2}$

O enunciado pede o gradiente da função escalar

U\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}

definida por

U(x,y)=x^2+y^2.

Para isso, vamos usar a definição de gradiente, que é o vetor formado pelas derivadas parciais de

U

\nabla U = \Bigl(\frac{\partial U}{\partial x},\,\frac{\partial U}{\partial y}\Bigr).

Calculamos a derivada parcial de

U

em relação a

x

. Como

\frac{\partial}{\partial x}(x^2)=2x \quad\text{e}\quad \frac{\partial}{\partial x}(y^2)=0,

temos

\frac{\partial U}{\partial x}=2x.

Agora calculamos a derivada parcial de

U

em relação a

y

. Como

\frac{\partial}{\partial y}(x^2)=0 \quad\text{e}\quad \frac{\partial}{\partial y}(y^2)=2y,

obtém-se

\frac{\partial U}{\partial y}=2y.

Juntando as duas componentes, escrevemos o gradiente de

U

como o vetor cujas coordenadas são essas derivadas parciais.

\nabla U(x,y) = (2x,\,2y).

Calcule o gradiente das seguintes funções escalares: U=x^{2}+y^{2}