Calcule o rotacional dos seguintes campos:
  • F(x, y, z)=x i+y j+x z k

Passo 1

O exercício pede pra calcular o rotacional (ou curl) do campo vetorial vec F(x,y,z)=x,i+y,j+xz,k. Esse conteúdo faz parte de Cálculo Vetorial e a gente vai usar a definição do operador nabla cruz com o campo pra encontrar o resultado.

Passo 2

A definição em coordenadas cartesianas do rotacional é dada por nablatimesvec F, que pode ser escrito como o determinante:
nablatimesvec F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z P & Q & R
onde P=x, Q=y e R=xz.

Passo 3

Agora a gente calcula cada componente usando
(nablatimesvec F)x = partial Rpartial y-partial Qpartial z,
(nablatimesvec F)y = partial Ppartial z-partial Rpartial x,
(nablatimesvec F)z = partial Qpartial x-partial Ppartial y
Vamos achar essas derivadas:
  • partial R/partial y=partial(xz)/partial y=0 e partial Q/partial z=partial y/partial z=0, então a componente x é zero.
  • partial P/partial z=partial x/partial z=0 e partial R/partial x=partial(xz)/partial x=z, logo a componente y é 0-z=-z.
  • partial Q/partial x=partial y/partial x=0 e partial P/partial y=partial x/partial y=0, então a componente z é zero.

Passo 4

Juntando tudo, o rotacional fica
nablatimesvec F = 0,i + (-z),j + 0,k = -z,j

Resposta

nablatimesvec F=-z,j

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