Encontre a solução para a equação diferencial
. Verifique que a função encontrada é de fato uma solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ t y’ + 2 y = t^{2} - t + 1 $ para $ t > 0 $. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar um fator integrante que nos ajude a simplificar a equação e, assim, encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Dividindo toda a equação original por $ t $ (já que $ t > 0 $), temos:
Aqui, identificamos $ P(t) = \frac{2}{t} $ e $ Q(t) = t - 1 + \frac{1}{t} $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
Calculando a integral de $ P(t) $:
Portanto,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante $ \mu(t) = t^{2} $:
Simplificando:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(t) y $. Ou seja:
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
Isso resulta em:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Para encontrar $ y $, dividimos ambos os lados por $ t^{2} $:
Simplificando cada termo:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Verificação
Para verificar que essa função é de fato uma solução, substituímos $ y $ e $ y’ $ na equação original e confirmamos que ambos os lados são iguais. Isso confirma que encontramos a solução correta.