Encontre a solução para a equação diferencial t y^prime+2 y=t^2-t+1, t>0. Verifique que a função encontrada é de fato uma solução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ t y’ + 2 y = t^{2} - t + 1 $ para $ t > 0 $. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar um fator integrante que nos ajude a simplificar a equação e, assim, encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
y' + P(t) y = Q(t)
Dividindo toda a equação original por $ t $ (já que $ t > 0 $), temos:
t
Aqui, identificamos $ P(t) = \frac{2}{t} $ e $ Q(t) = t - 1 + \frac{1}{t} $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
mu(t)
Calculando a integral de $ P(t) $:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Portanto,
P(t)

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante $ \mu(t) = t^{2} $:
mu(t) = t^2
Simplificando:
t^2 y' + t^2 cdot 2t y = t^2 ( t - 1 + 1t )

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(t) y $. Ou seja:
mu(t) y
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
ddt (t^2 y) = t^3 - t^2 + t
Isso resulta em:
t
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar $ y $, dividimos ambos os lados por $ t^{2} $:
y
Simplificando cada termo:
t^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = t^24 - t3 + 12 + Ct^2

Verificação

Para verificar que essa função é de fato uma solução, substituímos $ y $ e $ y’ $ na equação original e confirmamos que ambos os lados são iguais. Isso confirma que encontramos a solução correta.

Exercícios relacionados