Reescreva cada uma das integrais abaixo de dois modos diferentes.
integral0^2 integral0^2-y integral0^4-y^2 d x d z d y;

Passo 1

O enunciado dá a integral tripla integraly=0^2 integralz=0^2-y integralx=0^4-y^2 dx,dz,dy e pede para reescrevê-la em duas outras ordens de integração. O conteúdo é mudança da ordem de integração em integrais triplas e vamos precisar entender a região R descrita por esses limites.

Passo 2

Primeiro, descrevemos a região R no espaço (x,y,z):
  • y vai de 0 a 2.
  • Para cada y, z vai de 0 a 2-y.
  • Para cada (y,z), x vai de 0 a 4-y^2.
    Logo,
R=(x,y,z):0<= y<=2, ;0<= z<=2-y, ;0<= x<=4-y^2

Passo 3

Agora escolhemos como primeira ordem alternativa fazer z externo, depois y, e por fim x. O limite de z varia de 0 a 2, e para cada z temos y de 0 a 2-z, e finalmente x de 0 a 4-y^2. Assim obtemos:
integralz=0^2 integraly=0^2-z integralx=0^4-y^2 dx,dy,dz

Passo 4

Como segunda ordem, colocamos x externo, depois y e finalmente z. O valor de x vai de 0 a 4 (pois y^2<=4 implica x<=4-y^2<=4), depois y de 0 a raiz4-x, e por fim z de 0 a 2-y. Fica:
integralx=0^4 integraly=0^raiz4-x integralz=0^2-y dz,dy,dx

Resposta

integralz=0^2 integraly=0^2-z integralx=0^4-y^2 dx,dy,dz
integralx=0^4 integraly=0^raiz4-x integralz=0^2-y dz,dy,dx

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