Identifique se as seguintes expressões são verdadeiros ou falsos. Justifique sua resposta.
(a) Grad f é um campo escalar. [Resposta: Falso, é um campo vetorial.]
(b) \operatorname{Div} \vec{F} é um campo vetorial.[Resposta: Falso, é um campo escalar.]
(c) \operatorname{Rot} \vec{F} é um campo vetorial. [Resposta: Verdadeiro.]
(d) \operatorname{Grad}(\operatorname{Div} \vec{F}) é um campo vetorial. [Resposta: Verdadeiro.]
(e) \operatorname{Div}[\operatorname{Rot}(\operatorname{Grad} \vec{F})] é um campo vetorial. [Resposta: Falso. É zero. Rotacional de gradiente de um escalar é zero, e divergente de rotacional é zero.]
(f) Grad f \times \operatorname{div} \vec{F} é um campo vetorial. [Resposta: É uma expressão sem sentido. O produto vetorial existe somente entre dois vetores. Aqui Grad f é um vetor, porém div \vec{F} é um escalar. ]
(g) O campo vetorial \vec{F}=2 x y \cos z \hat{i}-y^{2} \cos z \hat{j}+e^{x y} \hat{k} é incompressível. [Resposta: Verdadeiro, divergente do dado campo é zero]
(h) O campo vetorial \vec{F}=2 x y \cos z \hat{i}-y^{2} \cos z \hat{j}+e^{x y} \hat{k} é irrotacional. [Resposta: Falso, rotacional do dado campo não é zero, é \left[x e^{x y}-y^{2}\right. sen \left.z\right] \hat{i}+\left[-y e^{x y}-2 x y\right. sen \left.\left.z\right] \hat{j}-2 x \cos z \hat{k}.\right]

Passo 1

O enunciado pede para identificar, em cada item, se a expressão dada gera um campo escalar, um campo vetorial ou se é inválida, bem como verificar propriedades de divergente e rotacional de um campo vetorial. O conteúdo é cálculo vetorial (operadores ∇ – gradiente, divergente e rotacional) e precisaremos usar suas definições e propriedades de composição.

Passo 2

Lembrando as definições básicas:
– O gradiente de uma função escalar f é \nabla f, que sempre resulta num campo vetorial.
– A divergente de um campo vetorial \vec F é \nabla \cdot \vec F, que sempre resulta num campo escalar.
– O rotacional de um campo vetorial \vec F é \nabla \times \vec F, que sempre resulta num campo vetorial.

Passo 3

(a) Grad f é um campo escalar.
Como grad f = \nabla f é um vetor em cada ponto, não um número, a afirmação é falsa.

Passo 4

(b) \operatorname{Div}\,\vec F é um campo vetorial.
Como \operatorname{Div}\,\vec F = \nabla\cdot\vec F é um escalar em cada ponto, a afirmação é falsa.

Passo 5

(c) \operatorname{Rot}\,\vec F é um campo vetorial.
Como \operatorname{Rot}\,\vec F = \nabla\times\vec F produz um vetor em cada ponto, a afirmação é verdadeira.

Passo 6

(d) \operatorname{Grad}(\operatorname{Div}\,\vec F) é um campo vetorial.
Aqui \operatorname{Div}\,\vec F é escalar, e ao aplicarmos gradiente a um escalar obtemos um vetor. Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 7

(e) \operatorname{Div}[\operatorname{Rot}(\operatorname{Grad}\,\vec F)] é um campo vetorial.
Primeiro \operatorname{Grad}\,\vec F só faz sentido se \vec F fosse escalar, mas supondo F escalar chamemos de f: \operatorname{Rot}(\nabla f)=\nabla\times(\nabla f)=\vec0. Em seguida \nabla\cdot\vec0=0, um escalar (o campo escalar zero). Logo não é campo vetorial, a afirmação é falsa.

Passo 8

(f) Grad f \times \operatorname{div}\,\vec F é um campo vetorial.
Grad f = vetor e \operatorname{div}\,\vec F = escalar, mas o produto vetorial exige dois vetores. A expressão é sem sentido, portanto a afirmação é falsa.

Passo 9

(g) O campo \vec F=2xy\cos z\,\hat i - y^{2}\cos z\,\hat j + e^{xy}\,\hat k é incompressível.
Calculando
\nabla\cdot\vec F =\frac{\partial}{\partial x}(2xy\cos z) +\frac{\partial}{\partial y}(-y^{2}\cos z) +\frac{\partial}{\partial z}(e^{xy}) =2y\cos z-2y\cos z+0=0.
Divergente zero significa incompressível, logo a afirmação é verdadeira.

Passo 10

(h) O mesmo campo é irrotacional.
Aplicando definição do rotacional, obtemos
\nabla \times \vec F =\bigl(xe^{xy}-y^{2}\sin z\bigr)\,\hat i +\bigl(-y e^{xy}-2xy\sin z\bigr)\,\hat j -2x\cos z\,\hat k,
que não é o vetor nulo. Logo o campo não é irrotacional, a afirmação é falsa.

Resposta

(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Verdadeiro
(e) Falso
(f) Falso
(g) Verdadeiro
(h) Falso

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