Identifique se as seguintes expressões são verdadeiros ou falsos. Justifique sua resposta.
(a) Grad
é um campo escalar. [Resposta: Falso, é um campo vetorial.]
(b)
é um campo vetorial.[Resposta: Falso, é um campo escalar.]
(c)
é um campo vetorial. [Resposta: Verdadeiro.]
(d)
é um campo vetorial. [Resposta: Verdadeiro.]
(e)
é um campo vetorial. [Resposta: Falso. É zero. Rotacional de gradiente de um escalar é zero, e divergente de rotacional é zero.]
(f) Grad
é um campo vetorial. [Resposta: É uma expressão sem sentido. O produto vetorial existe somente entre dois vetores. Aqui Grad
é um vetor, porém div
é um escalar. ]
(g) O campo vetorial
é incompressível. [Resposta: Verdadeiro, divergente do dado campo é zero]
(h) O campo vetorial
é irrotacional. [Resposta: Falso, rotacional do dado campo não é zero, é
sen
sen
(a) Grad
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) Grad
(g) O campo vetorial
(h) O campo vetorial
Passo 1
O enunciado pede para identificar, em cada item, se a expressão dada gera um campo escalar, um campo vetorial ou se é inválida, bem como verificar propriedades de divergente e rotacional de um campo vetorial. O conteúdo é cálculo vetorial (operadores ∇ – gradiente, divergente e rotacional) e precisaremos usar suas definições e propriedades de composição.
Passo 2
Lembrando as definições básicas:
– O gradiente de uma função escalar é
, que sempre resulta num campo vetorial.
– A divergente de um campo vetorial é
, que sempre resulta num campo escalar.
– O rotacional de um campo vetorial é
, que sempre resulta num campo vetorial.
– O gradiente de uma função escalar
– A divergente de um campo vetorial
– O rotacional de um campo vetorial
Passo 3
(a) Grad
é um campo escalar.
Como grad =
é um vetor em cada ponto, não um número, a afirmação é falsa.
Como grad
Passo 4
(b)
é um campo vetorial.
Como é um escalar em cada ponto, a afirmação é falsa.
Como
Passo 5
(c)
é um campo vetorial.
Como produz um vetor em cada ponto, a afirmação é verdadeira.
Como
Passo 6
(d)
é um campo vetorial.
Aqui é escalar, e ao aplicarmos gradiente a um escalar obtemos um vetor. Logo a afirmação é verdadeira.
Aqui
Passo 7
(e)
é um campo vetorial.
Primeiro só faz sentido se
fosse escalar, mas supondo
escalar chamemos de
:
. Em seguida
, um escalar (o campo escalar zero). Logo não é campo vetorial, a afirmação é falsa.
Primeiro
Passo 8
(f) Grad
é um campo vetorial.
Grad = vetor e
= escalar, mas o produto vetorial exige dois vetores. A expressão é sem sentido, portanto a afirmação é falsa.
Grad
Passo 9
(g) O campo
é incompressível.
Calculando
Calculando
Divergente zero significa incompressível, logo a afirmação é verdadeira.
Passo 10
(h) O mesmo campo é irrotacional.
Aplicando definição do rotacional, obtemos
Aplicando definição do rotacional, obtemos
que não é o vetor nulo. Logo o campo não é irrotacional, a afirmação é falsa.
Resposta
(a) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Verdadeiro
(e) Falso
(f) Falso
(g) Verdadeiro
(h) Falso
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Verdadeiro
(e) Falso
(f) Falso
(g) Verdadeiro
(h) Falso