Exercício 242. Determine os pontos de máximo e mínimo da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar os pontos de máximo e mínimo da função. Ou seja:
- Encontrar todos os pontos
onde a função tem máximo ou mínimo local. - For cada um desses pontos, indicar o valor da função
(assim se obtém as coordenadas do ponto extremante).
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de
para todo
.
Passo 2
Estratégia (curtinha e prática): pontos de máximo e mínimo local ocorrem onde a derivada é zero ou não existe (pontos críticos). Aqui a derivada existe para todo
, então procuramos
tal que
. Antes de calcular, uma mini-aula sobre derivada:
- Regra do poder: a derivada de
é . - A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- A derivada de uma constante é zero.
Usando isso, vamos derivar
.
Passo 3
Calcular a primeira derivada
. Aplicando as regras:
Podemos fatorar para facilitar:
Passo 4
Encontrar pontos críticos resolvendo
:
Como o fator
nunca é zero, os zeros vêm de
ou
. Logo:
são os pontos críticos.
Passo 5
Agora precisamos classificar cada ponto crítico (máximo, mínimo ou ponto de inflexão). Uma maneira rápida é o teste da segunda derivada. Mini-aula sobre isso:
- A segunda derivada
mede a concavidade de . - Se
, a curva está côncava para cima em → é mínimo local. - Se
, a curva está côncava para baixo em → é máximo local. - Se
, o teste é inconclusivo e há que analisar mais (por exemplo, estudar sinais de ao redor).
Calculemos
.
Passo 6
Derivando
, obtemos:
Agora avaliaremos
nos pontos críticos:
- Em
:
portanto
é ponto de mínimo local.
- Em
:
portanto
é ponto de máximo local.
Passo 7
Vamos calcular os valores da função nesses pontos para ter as coordenadas completas dos extremos. Mini-aula rápida: para obter a coordenada vertical do ponto extremo, basta substituir o
encontrado em
.
- Em
:
- Em
:
Portanto as coordenadas são
e
.
Passo 8
Verificação alternativa (útil em prova): olhar o sinal de
nos intervalos determinados pelos pontos críticos mostra comportamento consistente:
- Para
, escolhe-se : → (função cresce). - Para
, escolhe-se : → (função decresce). - Para
, escolhe-se : → (função cresce).
Esse padrão (cresce → decresce → cresce) confirma: em
ocorre máximo local; em
ocorre mínimo local.
Resposta
Máximo local em
Mínimo local em
Mínimo local em