Exercício 242. Determine os pontos de máximo e mínimo da função
f(x)=x^{3}-3 x+2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-3x+2
e pede para determinar os pontos de máximo e mínimo da função. Ou seja:
  • Encontrar todos os pontos x onde a função tem máximo ou mínimo local.
  • For cada um desses pontos, indicar o valor da função f(x) (assim se obtém as coordenadas do ponto extremante).
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de f(x) para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Estratégia (curtinha e prática): pontos de máximo e mínimo local ocorrem onde a derivada é zero ou não existe (pontos críticos). Aqui a derivada existe para todo x, então procuramos x tal que f'(x)=0. Antes de calcular, uma mini-aula sobre derivada:
  • Regra do poder: a derivada de \,x^{n}\, é \,n x^{n-1}\,.
  • A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • A derivada de uma constante é zero.
Usando isso, vamos derivar f.

Passo 3

Calcular a primeira derivada f'(x). Aplicando as regras:
f(x)=x^{3}-3x+2 \quad\Rightarrow\quad f'(x)=3x^{2}-3.
Podemos fatorar para facilitar:
f'(x)=3x^{2}-3=3(x^{2}-1)=3(x-1)(x+1).

Passo 4

Encontrar pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
3(x-1)(x+1)=0.
Como o fator 3 nunca é zero, os zeros vêm de (x-1)=0 ou (x+1)=0. Logo:
x=1 \quad\text{ou}\quad x=-1
são os pontos críticos.

Passo 5

Agora precisamos classificar cada ponto crítico (máximo, mínimo ou ponto de inflexão). Uma maneira rápida é o teste da segunda derivada. Mini-aula sobre isso:
  • A segunda derivada f''(x) mede a concavidade de f.
  • Se f''\text{(c)}>0, a curva está côncava para cima em c c é mínimo local.
  • Se f''\text{(c)}<0, a curva está côncava para baixo em c c é máximo local.
  • Se f''\text{(c)}=0, o teste é inconclusivo e há que analisar mais (por exemplo, estudar sinais de f' ao redor).
Calculemos f''(x).

Passo 6

Derivando f'(x)=3x^{2}-3, obtemos:
f''(x)=6x.
Agora avaliaremos f'' nos pontos críticos:
  • Em x=1:
f''(1)=6\cdot 1 = 6>0,
portanto x=1 é ponto de mínimo local.
  • Em x=-1:
f''(-1)=6\cdot(-1) = -6<0,
portanto x=-1 é ponto de máximo local.

Passo 7

Vamos calcular os valores da função nesses pontos para ter as coordenadas completas dos extremos. Mini-aula rápida: para obter a coordenada vertical do ponto extremo, basta substituir o x encontrado em f(x).
  • Em x=1:
f(1)=1^{3}-3\cdot 1+2=1-3+2=0.
  • Em x=-1:
f(-1)=(-1)^{3}-3\cdot(-1)+2=-1+3+2=4.
Portanto as coordenadas são (1,0) e (-1,4).

Passo 8

Verificação alternativa (útil em prova): olhar o sinal de f'(x)=3(x-1)(x+1) nos intervalos determinados pelos pontos críticos mostra comportamento consistente:
  • Para x<-1, escolhe-se x=-2: (x-1)(x+1)=(-3)(-1)>0 f'>0 (função cresce).
  • Para -1<x<1, escolhe-se x=0: (x-1)(x+1)=(-1)(1)<0 f'<0 (função decresce).
  • Para x>1, escolhe-se x=2: (x-1)(x+1)=(1)(3)>0 f'>0 (função cresce).
Esse padrão (cresce → decresce → cresce) confirma: em x=-1 ocorre máximo local; em x=1 ocorre mínimo local.

Resposta

Máximo local em (-1,4)
Mínimo local em (1,0)

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