Calcule o saldo devedor de um financiamento de
72.000,00
18^{\mathrm{a}}
6 %$.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede um único resultado. Vou listar tudo com calma para a gente não se perder:
- Valor financiado (principal):
. - Número total de parcelas:
. - Taxa de juros por período:
(vou entender a taxa como por período, isto é, por parcela). - Queremos o saldo devedor imediatamente após o pagamento da
prestação — isto significa que restarão prestações futuras. - Sistema de amortização: francês (prestações constantes).
Não vou resolver nada ainda; apenas confirmei os dados que usaremos.
Passo 2
O que é o sistema de amortização francês (Price) e qual fórmula usamos?
- No sistema francês, a parcela (prestação)
é constante durante todo o financiamento. Cada prestação é composta por juros sobre o saldo devedor e pela amortização (redução do principal). - A maneira mais direta de calcular
é igualar o valor atual das prestações constantes ao valor do financiamento . Isso usa a fórmula da anuidade imediata (valor presente de uma série de pagamentos constantes):
Aqui:
-
é o principal (valor do empréstimo), -
é a prestação periódica (o que queremos achar), -
é a taxa de juros por período, -
é o número de parcelas. - Isolando
obtemos a fórmula prática para a prestação:
Explicação intuitiva rápida: o fator
transforma o principal num valor de parcela que, pago
vezes e descontado aos juros
, tem valor presente
.
Passo 3
Calcular a parcela
numericamente.
- Primeiro vamos computar
com e . Fiz a potência passo a passo e obtive:
- Então
. - Agora aplicamos a fórmula de
:
- Multiplicando, obtemos a prestação (arredondando para centavos):
Dica: anote sempre
com duas casas decimais — é o valor que aparece na fatura.
Passo 4
Expressão do saldo devedor imediatamente após a
-ésima prestação.
- O saldo devedor imediatamente depois da
-ésima prestação (ou seja, com prestações restantes) é simplesmente o valor presente, naquele instante, das prestações futuras:
- Aqui:
-
é o saldo devedor após o pagamento da -ésima parcela, -
é o número de parcelas que ainda faltam ser pagas, - os outros símbolos já foram explicados anteriormente.
-
- Intuição: o banco te diria “se você quer quitar agora, me pague o valor presente das prestações que ainda receberia”.
Passo 5
Aplicar a fórmula para
(ou seja, restam
parcelas).
- Primeiro calculamos
. Da conta passo a passo:
portanto
- Então o fator
com é
- Agora o saldo:
(Usei
com centavos e o fator com precisão suficiente para chegar ao centavo do saldo.)
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida
- Resultado faz sentido: metada do prazo (18 de 36) com juros positivos deixa um saldo um pouco maior que metade do principal porque no início a maior parte da parcela paga juros; portanto o saldo decresce mais devagar no começo. Nosso saldo de aproximadamente
é consistente com essa ideia. - Se você quiser, dá para obter o mesmo resultado somando todas as amortizações pagas até a 18ª parcela e subtraindo do principal — mas calcular pelo valor presente das prestações remanescentes é muito mais rápido na prova.