Calcule o saldo devedor de um financiamento de \mathrm{R} \ 72.000,00 realizado 36 parcelas, pelo sistema de amortização francês, imediatamente após pagamento daçãêó18^{\mathrm{a}} prestação. Considere uma taxa de juros deçã6 %$.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede um único resultado. Vou listar tudo com calma para a gente não se perder:
  • Valor financiado (principal): P= \mathrm{R}\$\,72\,000{,}00.
  • Número total de parcelas: n=36.
  • Taxa de juros por período: i=6\% = 0{,}06 (vou entender a taxa como 6\% por período, isto é, i=0{,}06 por parcela).
  • Queremos o saldo devedor imediatamente após o pagamento da 18^{\text{a}} prestação — isto significa que restarão n-k=36-18=18 prestações futuras.
  • Sistema de amortização: francês (prestações constantes).
Não vou resolver nada ainda; apenas confirmei os dados que usaremos.

Passo 2

O que é o sistema de amortização francês (Price) e qual fórmula usamos?
  • No sistema francês, a parcela (prestação) A é constante durante todo o financiamento. Cada prestação é composta por juros sobre o saldo devedor e pela amortização (redução do principal).
  • A maneira mais direta de calcular A é igualar o valor atual das n prestações constantes ao valor do financiamento P. Isso usa a fórmula da anuidade imediata (valor presente de uma série de pagamentos constantes):
P = A\cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Aqui:
  • P é o principal (valor do empréstimo),
  • A é a prestação periódica (o que queremos achar),
  • i é a taxa de juros por período,
  • n é o número de parcelas.
  • Isolando A obtemos a fórmula prática para a prestação:
A = P\cdot \frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Explicação intuitiva rápida: o fator \dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}} transforma o principal num valor de parcela que, pago n vezes e descontado aos juros i, tem valor presente P.

Passo 3

Calcular a parcela A numericamente.
  • Primeiro vamos computar (1+i)^{n} com i=0{,}06 e n=36. Fiz a potência passo a passo e obtive:
(1{+}i)^{36} = 1{,}06^{36} \approx 8{,}145812974455743.
  • Então (1+i)^{-n} = \dfrac{1}{(1+i)^{n}} \approx 0{,}122742871377.
  • Agora aplicamos a fórmula de A:
A = 72\,000\cdot \frac{0{,}06}{1-0{,}122742871377} =72\,000\cdot \frac{0{,}06}{0{,}877257128623} \approx 72\,000\cdot 0{,}06839653.
  • Multiplicando, obtemos a prestação (arredondando para centavos):
A \approx \mathrm{R}\$\,4\,924{,}55.
Dica: anote sempre A com duas casas decimais — é o valor que aparece na fatura.

Passo 4

Expressão do saldo devedor imediatamente após a k-ésima prestação.
  • O saldo devedor imediatamente depois da k-ésima prestação (ou seja, com n-k prestações restantes) é simplesmente o valor presente, naquele instante, das n-k prestações futuras:
B_k = A\cdot \frac{1-(1+i)^{-(n-k)}}{i}.
  • Aqui:
    • B_k é o saldo devedor após o pagamento da k-ésima parcela,
    • n-k é o número de parcelas que ainda faltam ser pagas,
    • os outros símbolos já foram explicados anteriormente.
  • Intuição: o banco te diria “se você quer quitar agora, me pague o valor presente das prestações que ainda receberia”.

Passo 5

Aplicar a fórmula para k=18 (ou seja, restam n-k=18 parcelas).
  • Primeiro calculamos (1+i)^{18}. Da conta passo a passo:
(1{+}i)^{18} = 1{,}06^{18} \approx 2{,}8538355260874656,
portanto
(1{+}i)^{-18} \approx \frac{1}{2{,}8538355260874656} \approx 0{,}350470.
  • Então o fator \dfrac{1-(1+i)^{-(n-k)}}{i} com n-k=18 é
\frac{1-0{,}350470}{0{,}06} = \frac{0{,}649530}{0{,}06} \approx 10{,}8255.
  • Agora o saldo:
B_{18} = A\cdot 10{,}8255 \approx 4\,924{,}55 \times 10{,}8255 \approx \mathrm{R}\$\,53\,310{,}72.
(Usei A com centavos e o fator com precisão suficiente para chegar ao centavo do saldo.)

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida
  • Resultado faz sentido: metada do prazo (18 de 36) com juros positivos deixa um saldo um pouco maior que metade do principal porque no início a maior parte da parcela paga juros; portanto o saldo decresce mais devagar no começo. Nosso saldo de aproximadamente \mathrm{R}\$\,53{,}310{,}72 é consistente com essa ideia.
  • Se você quiser, dá para obter o mesmo resultado somando todas as amortizações pagas até a 18ª parcela e subtraindo do principal — mas calcular pelo valor presente das prestações remanescentes é muito mais rápido na prova.

Resposta

\mathrm{R}\$\,53\,310{,}72

Exercícios relacionados