Uma dívida no valor de \ 280.000,00 deve ser saldada 30 prestações mensais pelo sistema SAM. A taxa de juros contratada é deçõé4 % ao mês. Determine o saldo devedor, os juros e a prestação referentes aoêçã20^{\circ}$ mês.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Dívida inicial (valor presente): \$280000,00.
  • Número de prestações: 30 prestações mensais.
  • Taxa de juros: 4\% ao mês, isto é i=0,04.
  • Pergunta: determinar o saldo devedor, os juros e a prestação referentes ao 20^{\circ} mês.
Observação importante para esclarecer o que vamos calcular: quando falamos dos juros e da prestação “referentes ao 20^{\circ} mês” estamos usando o procedimento usual de financiamentos, em que os juros do mês são calculados sobre o saldo devedor imediatamente antes do pagamento da 20^{\circ} prestação. Portanto vou calcular:
  • o saldo devedor imediatamente antes da 20ª prestação (ou seja, após 19 pagamentos),
  • os juros do 20º mês (juros incidentes antes do pagamento),
  • a prestação paga no 20º mês (juros + amortização).
Vamos em frente — devagar e com calma, que dá tempo de entender tudo.

Passo 2

Explicação do sistema SAM (Sistema de Amortização Constante) e fórmulas básicas (aulas curtas e práticas).
No SAM a parte de amortização do capital é fixa em todas as prestações: a cada mês você amortiza a mesma quantia do principal. Chamamos essa quantia de amortização constante A. A fórmula é simples: dividir o valor financiado pelo número de prestações.
Fórmula para a amortização constante:
A=\frac{\text{valor presente}}{n}.
Aqui as variáveis significam:
  • \text{valor presente} é a dívida inicial (no nosso caso \$280000,00);
  • n é o número total de prestações (no nosso caso 30);
  • A é a amortização que se repete em cada prestação.
Outra fórmula útil: saldo devedor imediatamente antes da k-ésima prestação (ou seja, após k-1 pagamentos) é
S_{k-1}=\text{valor presente}-(k-1)\,A.
E os juros do k-ésimo mês são calculados sobre esse saldo:
J_k=i\cdot S_{k-1}.
Finalmente, a prestação do k-ésimo mês é a soma da amortização (que é A) com os juros do mês:
P_k=A+J_k.

Passo 3

Calcular a amortização constante A com os números do problema.
Aplicando a fórmula:
A=\frac{\$280000,00}{30}.
Fazendo a divisão obtemos a forma exata:
A=\$9333,\overline{3}\quad\text{(ou seja, }\$9333,333\ldots\text{)}.
Como estamos lidando com dinheiro, quando for necessário apresentar numeração em centavos arredondamos para duas casas decimais: A\approx\$9333,33. (Vou manter as repetições explícitas quando útil e arredondar só nas apresentações monetárias finais.)

Passo 4

Calcular o saldo devedor imediatamente antes da 20ª prestação — isto é S_{19}.
Usamos a fórmula do saldo:
S_{19}=\$280000,00-19\cdot A.
Substituindo A=\dfrac{\$280000,00}{30} fica mais simples fazer algebricamente:
S_{19}=\$280000,00-19\cdot\frac{\$280000,00}{30}=\$280000,00\left(1-\frac{19}{30}\right)=\$280000,00\cdot\frac{11}{30}.
Agora calculando:
S_{19}=\$280000,00\cdot\frac{11}{30}=\$102666,\overline{6}\quad\text{(ou seja, }\$102666,666\ldots\text{)}.
Arredondando para centavos (duas casas decimais) fica:
S_{19}\approx\$102666,67.

Passo 5

Calcular os juros do 20º mês.
Usamos a fórmula dos juros no mês k:
J_{20}=i\cdot S_{19}.
Substituindo i=0,04 e S_{19}=\$102666,\overline{6}:
J_{20}=0,04\cdot\$102666,\overline{6}=\$4106,\overline{6}\quad\text{(ou seja, }\$4106,666\ldots\text{)}.
Arredondando para centavos:
J_{20}\approx\$4106,67.
Explicação curta: os juros do mês são sempre a taxa multiplicada pelo saldo que existe antes de pagar a parcela — por isso usamos S_{19}.

Passo 6

Calcular a prestação do 20º mês.
A prestação é a soma da amortização constante A com os juros do mês J_{20}:
P_{20}=A+J_{20}.
Usando valores exatos repetidos:
P_{20}=\$9333,\overline{3}+\$4106,\overline{6}=\$13440,00.
Interessante observar que aqui, por causa dos repetidos, a soma resulta num valor exato sem repetição: \$13.440{,}00. Arredondamento não é necessário neste caso.

Passo 7

(Informação adicional útil para a prova) Saldo devedor imediatamente após o pagamento da 20ª prestação.
Se quiser saber quanto resta da dívida logo após pagar a 20ª prestação, subtrai-se a amortização A do saldo antes do pagamento:
S_{20}=S_{19}-A=\$102666,\overline{6}-\$9333,\overline{3}=\$93333,\overline{3}.
Arredondando:
S_{20}\approx\$93333,33.

Resposta

Saldo devedor (imediatamente antes da 20ª prestação): \$102666,\overline{6} (aprox. \$102666,67).
Juros do 20º mês: \$4106,\overline{6} (aprox. \$4106,67).
Prestação do 20º mês: \$13440,00.

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