Uma dívida no valor de
280.000,00
4 %
20^{\circ}$ mês.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Dívida inicial (valor presente):
. - Número de prestações:
prestações mensais. - Taxa de juros:
ao mês, isto é . - Pergunta: determinar o saldo devedor, os juros e a prestação referentes ao
mês.
Observação importante para esclarecer o que vamos calcular: quando falamos dos juros e da prestação “referentes ao
mês” estamos usando o procedimento usual de financiamentos, em que os juros do mês são calculados sobre o saldo devedor imediatamente antes do pagamento da
prestação. Portanto vou calcular:
- o saldo devedor imediatamente antes da 20ª prestação (ou seja, após 19 pagamentos),
- os juros do 20º mês (juros incidentes antes do pagamento),
- a prestação paga no 20º mês (juros + amortização).
Vamos em frente — devagar e com calma, que dá tempo de entender tudo.
Passo 2
Explicação do sistema SAM (Sistema de Amortização Constante) e fórmulas básicas (aulas curtas e práticas).
No SAM a parte de amortização do capital é fixa em todas as prestações: a cada mês você amortiza a mesma quantia do principal. Chamamos essa quantia de amortização constante
. A fórmula é simples: dividir o valor financiado pelo número de prestações.
Fórmula para a amortização constante:
Aqui as variáveis significam:
-
é a dívida inicial (no nosso caso ); -
é o número total de prestações (no nosso caso ); -
é a amortização que se repete em cada prestação.
Outra fórmula útil: saldo devedor imediatamente antes da
-ésima prestação (ou seja, após
pagamentos) é
E os juros do
-ésimo mês são calculados sobre esse saldo:
Finalmente, a prestação do
-ésimo mês é a soma da amortização (que é
) com os juros do mês:
Passo 3
Calcular a amortização constante
com os números do problema.
Aplicando a fórmula:
Fazendo a divisão obtemos a forma exata:
Como estamos lidando com dinheiro, quando for necessário apresentar numeração em centavos arredondamos para duas casas decimais:
. (Vou manter as repetições explícitas quando útil e arredondar só nas apresentações monetárias finais.)
Passo 4
Calcular o saldo devedor imediatamente antes da 20ª prestação — isto é
.
Usamos a fórmula do saldo:
Substituindo
fica mais simples fazer algebricamente:
Agora calculando:
Arredondando para centavos (duas casas decimais) fica:
Passo 5
Calcular os juros do 20º mês.
Usamos a fórmula dos juros no mês
:
Substituindo
e
:
Arredondando para centavos:
Explicação curta: os juros do mês são sempre a taxa multiplicada pelo saldo que existe antes de pagar a parcela — por isso usamos
.
Passo 6
Calcular a prestação do 20º mês.
A prestação é a soma da amortização constante
com os juros do mês
:
Usando valores exatos repetidos:
Interessante observar que aqui, por causa dos repetidos, a soma resulta num valor exato sem repetição:
. Arredondamento não é necessário neste caso.
Passo 7
(Informação adicional útil para a prova) Saldo devedor imediatamente após o pagamento da 20ª prestação.
Se quiser saber quanto resta da dívida logo após pagar a 20ª prestação, subtrai-se a amortização
do saldo antes do pagamento:
Arredondando:
Resposta
Saldo devedor (imediatamente antes da 20ª prestação):
(aprox.
).
Juros do 20º mês: (aprox.
).
Prestação do 20º mês: .
Juros do 20º mês:
Prestação do 20º mês: