Um financiamento no valor de \ 150.000,00$ será quitado pelo sistema de amortização constante em 24 parcelas mensais. A taxa de juros contratada para a operação é de 4,5% ao mês. Determinar:
a) valor de cada amortização mensal;
b) valor dos juros e da prestação referentes ao 15^{\circ} pagamento;
c) valor da penúltima prestação;
d) valor do saldo devedor imediatamente após o pagamento da 8^{\mathrm{a}} prestação.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede as quantidades indicadas.
Dados:
\text{Empréstimo inicial }P=\$150.000,00é
\text{Número de parcelas }n=24ú
\text{Taxa de juros mensal }i=4{,}5\% = 0{,}045
Perguntas:
a) Determinar o valor de cada amortização mensal.
b) Determinar, no 15 ^\circ pagamento, o valor dos juros e o valor da prestação (amortização + juros).
c) Determinar o valor da penúltima prestação (23 ^\circ prestação).
d) Determinar o saldo devedor imediatamente após o pagamento da 8 ^\mathrm{a} prestação.

Passo 2

Explicação do que vamos usar (conceitos fundamentais, bem mastigados).
  • Amortização mensal: parte fixa do capital que é paga todo mês. Vou chamar essa quantia de A.
  • Juros em cada mês: calculam-se sobre o saldo devedor que existe imediatamente antes do pagamento daquele mês. Vou chamar o juro do mês k de J_k.
  • Prestação (pagamento mensal): soma da amortização fixa A com o juro do mês k: \text{Prest}_k = A + J_k.
  • Saldo devedor após m pagamentos: é o capital inicial menos a soma das amortizações pagas até então. Como a amortização é constante, após m pagamentos o saldo é S_m = P - m\cdot A.
As fórmulas que usaremos (mostradas em modo isolado):
A=\frac{P}{n}
S_m = P - m\cdot A
J_{k} = S_{k-1}\cdot i
\text{Prest}_k = A + J_k
Aqui P é o principal (valor financiado), n é o número total de parcelas, i é a taxa mensal (em forma decimal), S_m é o saldo devedor após m pagamentos, J_k é o juro do k-ésimo mês (calculado sobre o saldo antes do pagamento k).

Passo 3

Calcular a amortização mensal A usando \displaystyle A=\frac{P}{n}. Substituindo:
A=\frac{\$150.000,00}{24}
Vamos dividir passo a passo: 150.000 \div 24. Sabemos que 24\times 6.250 = 150.000. Portanto:
A=\$6.250,00

Passo 4

Agora vamos preparar o cálculo do 15 ^\circ pagamento (item b). Precisamos do saldo imediatamente antes do 15 ^\circ pagamento, isto é, o saldo após 14 pagamentos. Usamos \displaystyle S_{14}=P-14\cdot A.

Passo 5

Calcular S_{14}:
S_{14}=\$150.000,00-14\cdot\$6.250,00
14\cdot\$6.250,00=\$87.500,00
S_{14}=\$150.000,00-\$87.500,00=\$62.500,00
Esse é o saldo devedor imediatamente antes do 15 ^\circ pagamento.

Passo 6

Calcular o juro do 15 ^\circ pagamento usando \displaystyle J_{15}=S_{14}\cdot i. Substituindo:
J_{15}=\$62.500,00\cdot 0{,}045
Fazendo a conta com passos: 62.500\times 0{,}045 = 62.500\times\frac{45}{1000} = (62.500/1000)\times 45 = 62{,}5\times 45 = 2.812{,}5. Portanto:
J_{15}=\$2.812,50

Passo 7

Calcular a prestação do 15 ^\circ pagamento com \displaystyle \text{Prest}_{15}=A+J_{15}. Substituindo:
\text{Prest}_{15}=\$6.250,00+\$2.812,50=\$9.062,50

Passo 8

Agora o item c): penúltima prestação é a 23 ^\circ. Precisamos do saldo antes da 23 ^\circ prestação, ou seja S_{22}=P-22\cdot A.

Passo 9

Calcular S_{22}:
S_{22}=\$150.000,00-22\cdot\$6.250,00
22\cdot\$6.250,00=\$137.500,00
S_{22}=\$150.000,00-\$137.500,00=\$12.500,00

Passo 10

Calcular o juro do 23 ^\circ pagamento:
J_{23}=S_{22}\cdot i=\$12.500,00\cdot 0{,}045
Fazendo a conta: 12.500\times 0{,}045 = 12.500\times\frac{45}{1000} = 12{,}5\times 45 = 562{,}5. Portanto:
J_{23}=\$562,50
A prestação 23 é:
\text{Prest}_{23}=A+J_{23}=\$6.250,00+\$562,50=\$6.812,50

Passo 11

Agora o item d): saldo devedor imediatamente após o pagamento da 8 ^\mathrm{a} prestação. Usamos a fórmula do saldo após m pagamentos:
S_{8}=P-8\cdot A
Calculemos:
8\cdot A=8\cdot\$6.250,00=\$50.000,00
S_{8}=\$150.000,00-\$50.000,00=\$100.000,00

Passo 12

Recapitulando os valores calculados (já com o raciocínio e as contas detalhadas feitos): amortização mensal fixa, juros e prestações pedidas, e saldo após 8 pagamentos estão prontos.

Resposta

a) A=\$6.250,00
b) J_{15}=\$2.812,50 \quad \text{Prest}_{15}=\$9.062,50
c) \text{Prest}_{23}=\$6.812,50
d) S_{8}=\$100.000,00

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